Matemáticas CCSS · Cataluña 2015

Una persona decide invertir un total de $60.000$ €, repartidos entre tres entidades de ahorro diferentes: A, B y C. Esta persona decide que la cantidad invertida en la entidad A sea la mitad de la cantidad total invertida en las entidades B y C. Además, sabemos que la entidad A le ha asegurado una rentabilidad del $5 \%$; la entidad B, una rentabilidad del $10 \%$, y la entidad C, una rentabilidad del $2 \%$. Calcule las cantidades invertidas en cada entidad de ahorro si sabemos que este inversor obtendrá unos beneficios totales de $4.200$ €.

Un hotel cobra $45$ € por habitación y noche. Por este precio, tiene ocupadas $165$ habitaciones cada noche. Se ha hecho un estudio a partir del cual se ha deducido que, por cada euro que se suba el precio de la habitación, se ocupará una menos cada noche.

Determine los valores de $a$, $b$ y $c$ que hacen que la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ pase por el punto $(0, 4)$ y tenga extremos relativos en los puntos de abscisa $x = 1$ y $x = 3$. Clasifique estos extremos.

Se ha observado que el número de entradas que se venden en el cine de un pueblo está ligado al sueldo medio $x$ de la población, expresado en miles de euros, según la función $$N(x) = \frac{50x}{x^2 + 1}$$

Encuentre las matrices $A$ y $B$ sabiendo que: $$A - 2B = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$ $$2A + 3B = \begin{pmatrix} 7 & 15 \\ 8 & -6 \end{pmatrix}$$

Considere la región del plano limitada por las rectas $$y = 2x + 2, \quad y = -2x + 2, \quad y = 2x - 2, \quad y = -2x - 2$$