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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2015

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Discuta, en función del parámetro bb, el sistema de ecuaciones{x+y=b−2x−y+(b−1)z=−2bx+y−z=2\begin{cases} x + y = b \\ -2x - y + (b - 1)z = -2 \\ bx + y - z = 2 \end{cases}(no es necesario resolverlo en ningún caso).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
En R3\mathbb{R}^3 considere el plano Π:ax+by+cz=d\Pi: ax + by + cz = d, la recta r:{x=0y=0r: \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} y el punto P=(1,0,1)P = (1, 0, 1).
a
Obtenga cómo deben ser los números reales a,b,c,da, b, c, d para que el plano Π\Pi contenga a la recta rr.1 pt
b
Supuesto que Π\Pi contiene a rr, pruebe que la distancia del punto PP a Π\Pi es menor o igual a 1: d(P,Π)≤1d(P, \Pi) \leq 1.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Estudie los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x)=ln⁡(1+x2)f(x) = \ln(1 + x^2).1,75 pts
b
Estudie si la recta rr de ecuación y=−x−1+ln⁡2y = -x - 1 + \ln 2 es tangente a la gráfica de f(x)=ln⁡(1+x2)f(x) = \ln(1 + x^2) en algún punto de inflexión de f(x)f(x).0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule la siguiente suma de integrales definidas∫0e−11x+1dx+∫0πcos⁡x⋅esen⁡xdx\int_{0}^{e - 1} \frac{1}{x + 1} dx + \int_{0}^{\pi} \cos x \cdot e^{\sen x} dx
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(x11y)A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & y \end{pmatrix} y B=(1xy1)B = \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & 1 \end{pmatrix}. Determine los valores de xx e yy para los que se cumple A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dados en R3\mathbb{R}^3 los planos Π1≡x+y−z=1\Pi_1 \equiv x + y - z = 1 y Π2≡x−y+z=1\Pi_2 \equiv x - y + z = 1, obtenga el conjunto HH de los puntos de R3\mathbb{R}^3 que distan igual de dichos planos.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Enuncie el teorema de Bolzano.1 pt
b
Utilizando el teorema de Bolzano, encuentre un intervalo de la recta real en el que la función polinómica p(x)=3x3−x+1p(x) = 3x^3 - x + 1 tenga alguna raíz.0,75 pts
c
Utilizando el teorema de Bolzano, demuestre que las gráficas de las funciones f(x)=ex+ln⁡(1+x2)f(x) = e^x + \ln(1 + x^2) y g(x)=ex+1g(x) = e^x + 1 se cortan en algún punto.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Represente, aproximadamente, la gráfica de la función g(x)=sen⁡(2x)g(x) = \sen(2x) definida en el intervalo [0,π][0, \pi].0,5 pts
b
Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función g(x)=sen⁡(2x)g(x) = \sen(2x), el eje OXOX y las rectas x=0x = 0, x=πx = \pi.2 pts
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