Matemáticas II · Extremadura 2015

Obtenga cómo deben ser los números reales $a, b, c, d$ para que el plano $\Pi$ contenga a la recta $r$.

Supuesto que $\Pi$ contiene a $r$, pruebe que la distancia del punto $P$ a $\Pi$ es menor o igual a 1: $d(P, \Pi) \leq 1$.

Estudie los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función $f(x) = \ln(1 + x^2)$.

Estudie si la recta $r$ de ecuación $y = -x - 1 + \ln 2$ es tangente a la gráfica de $f(x) = \ln(1 + x^2)$ en algún punto de inflexión de $f(x)$.

Enuncie el teorema de Bolzano.

Utilizando el teorema de Bolzano, encuentre un intervalo de la recta real en el que la función polinómica $p(x) = 3x^3 - x + 1$ tenga alguna raíz.

Utilizando el teorema de Bolzano, demuestre que las gráficas de las funciones $f(x) = e^x + \ln(1 + x^2)$ y $g(x) = e^x + 1$ se cortan en algún punto.

Represente, aproximadamente, la gráfica de la función $g(x) = \sen(2x)$ definida en el intervalo $[0, \pi]$.

Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función $g(x) = \sen(2x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$, $x = \pi$.