Matemáticas CCSS · Extremadura 2021

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}$. Hallar la matriz $X$ que sea solución de la ecuación matricial $A \cdot X - B^t = 2C$, donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$. Justificar la respuesta.

Sea $A$ la matriz siguiente: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & x & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Se pide, justificando las respuestas:

Resolver, justificando la respuesta, el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - 3y + z = -1 \\ -3x + 2y - z = -2 \end{cases}$$

Un taller de confección fabrica abrigos y cazadoras. Para ello dispone semanalmente de $80\,\text{m}^2$ de tela de forro y $120\,\text{m}^2$ de tela de paño. Un abrigo requiere $1\,\text{m}^2$ de tela de forro y $3\,\text{m}^2$ de tela de paño y una cazadora requiere $2\,\text{m}^2$ de cada una de las telas. Si en cada abrigo gana $80\,€$ y en cada cazadora $70\,€$, calcular, justificando las respuestas:

Un determinado vino tiene un tiempo de crianza en bodega de entre 1 y 4 años. La graduación del vino, $G(x)$, en términos del tiempo de crianza, $x$, viene dada por la función $$G(x) = x^3 - Ax^2 + 6Bx + 2 \quad 1 \leq x \leq 4$$ Determinar, justificando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que la máxima graduación se consigue exactamente a los 2 años, edad en que el vino alcanza los 22 grados.

El diámetro de cierta variedad de manzana oscila entre los 2 y los 5 cm. El precio (en céntimos de euro), $P(x)$, que se le paga al agricultor por un kilogramo de estas manzanas viene determinado por su diámetro, $x$, de acuerdo con la siguiente función: $$P(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x + 30 \quad 2 \leq x \leq 5$$ Determinar para qué diámetros se alcanzan los precios máximo y mínimo de las manzanas. ¿Cuáles son estos precios máximo y mínimo? Razonar las respuestas.

Se pide:

En una fábrica de vidrios el 25% de las botellas que se producen son grandes, el 40% medianas y el resto pequeñas. En un control de calidad, se detecta que el 1% de las botellas grandes, el 2% de las medianas y el 3% de las pequeñas son defectuosas. Se pide, razonando la respuesta:

Se desea conocer la proporción de clientes que adquirirán un nuevo modelo de teléfono móvil. Para ello se realiza una encuesta a 300 potenciales clientes de los cuales 60 están interesados en dicho producto. Hallar un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95%, para la proporción de clientes interesados en el nuevo modelo de teléfono móvil. Razonar la respuesta.

Con objeto de adquirir los embalajes en una panadería, se realiza un estudio sobre la longitud de las barras de pan. Se sabe que dicha variable tiene distribución normal con desviación típica de 3 cm. ¿Cuántas barras de pan deben ser tomadas para el estudio si se desea obtener un intervalo de confianza para la longitud media de las barras, al nivel de confianza del 95%, con una amplitud de 1 cm? Razonar la respuesta.