Matemáticas II · Madrid 2025

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$: $$\begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ k+1 & 1 & -k \\ 1 & k+1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 2k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$, se pide:

Un agricultor dispone de $120$ metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como $A, B, C, D$ y $E$. Se sabe que $A, B, D$ y $E$ forman un rectángulo, y que el punto $C$ se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos $B$ y $D$. ¿A qué distancia del vértice $A$ el agricultor debe ubicar los vértices $B$ y $E$ si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?

Sean los puntos $A(1,1,2)$, $B(2,-1,0)$, $C(2,0,3)$ y $D(2,3,-1)$ y la recta $$r \equiv \frac{x-1}{2} = y+1 = \frac{z}{-1}$$

Dados los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,0,1)$, se pide:

En base a un estudio de los datos antropométricos de la población laboral española en hombres se considera que la masa, en kilogramos, de un individuo de esta población es una variable normal de media $75{,}67$ y desviación típica $11{,}05$. Se pide:

La probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de $0{,}08$ y en un día seco es de $0{,}004$. La probabilidad de que llueva y se caiga es de $0{,}032$. Hoy un corredor ha salido. Se pide: