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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACION Desprésés de leer attentamente el examen, responda razonadamente a una pregunta en cada uno de los cuales bloques, tres de ellos con optatividad y uno sin optatividad. Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas. CALIFICACION: Cada bloque se calificará sobre 2.5 puntos. TIEMPO: 90 minuto.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Responda a una de las dos preguntas siguientes (1.1 o 1.2).

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real kk:(k11k+11−k1k+10)(xyz)−(0k2k)=(000)\begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ k+1 & 1 & -k \\ 1 & k+1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 2k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
a
Discutir el sistema en función de los valores de kk.1,5 pts
b
Resolver el sistema para k=0k=0.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Responda a una de las dos preguntas siguientes (1.1 o 1.2).

Dada la matriz A=(15−1−3)A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}, se pide:
a
Hallar las matrices simétricas BB que verifiquen BA=(A+A2)BBA = (A + A^2)B.1,5 pts
b
Con la matriz A1=AA_1 = A, se consideran las matrices A2=A12+A1A_2 = A_1^2 + A_1, A3=A22+A2A_3 = A_2^2 + A_2, A4=A32+A3A_4 = A_3^2 + A_3 y así sucesivamente. Hallar A2025A_{2025}.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque obligatorio
Un agricultor dispone de 120120 metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como A,B,C,DA, B, C, D y EE. Se sabe que A,B,DA, B, D y EE forman un rectángulo, y que el punto CC se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos BB y DD. ¿A qué distancia del vértice AA el agricultor debe ubicar los vértices BB y EE si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Responda a una de las dos preguntas siguientes (3.1 o 3.2).

Sean los puntos A(1,1,2)A(1,1,2), B(2,−1,0)B(2,-1,0), C(2,0,3)C(2,0,3) y D(2,3,−1)D(2,3,-1) y la rectar≡x−12=y+1=z−1r \equiv \frac{x-1}{2} = y+1 = \frac{z}{-1}
a
Compruebe que los puntos no son coplanarios y calcule el volumen del tetraedro determinado por ellos.0,5 pts
b
Calcule el área de la cara del tetraedro determinada por los puntos A,BA, B y CC y la longitud de la altura del tetraedro que parte del vértice DD.1 pt
c
Calcule la distancia entre la recta rr y la recta determinada por los puntos BB y DD.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Responda a una de las dos preguntas siguientes (3.1 o 3.2).

Dados los puntos A(0,0,1)A(0,0,1) y B(1,0,1)B(1,0,1), se pide:
a
Hallar una ecuación del plano paralelo al eje OZOZ y que pasa por los puntos AA y BB.1 pt
b
Hallar una ecuación de una recta perpendicular al plano z=1z=1 que diste una unidad tanto del punto AA como del punto BB.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Responda a una de las dos preguntas siguientes (4.1 o 4.2).

En base a un estudio de los datos antropométricos de la población laboral española en hombres se considera que la masa, en kilogramos, de un individuo de esta población es una variable normal de media 75,6775{,}67 y desviación típica 11,0511{,}05. Se pide:
a
Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa entre 6060 y 8080 kilogramos.0,75 pts
b
Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa superior a 100100 kilogramos.0,75 pts
c
Elegidos diez hombres distintos al azar en esta población calcular la probabilidad de que no más de uno supere los 100100 kilogramos.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Responda a una de las dos preguntas siguientes (4.1 o 4.2).

La probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de 0,080{,}08 y en un día seco es de 0,0040{,}004. La probabilidad de que llueva y se caiga es de 0,0320{,}032. Hoy un corredor ha salido. Se pide:
a
Calcular la probabilidad de que vuelva a casa sin haberse caído.1,25 pts
b
Hallar la probabilidad de que, sabiendo que se ha caído, no esté lloviendo.1,25 pts
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