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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2018

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se tiene el sistema de ecuaciones {y−z=1−a−x+z=5−ax+y−z=1\begin{cases} y - z = 1 - a \\ -x + z = 5 \\ -ax + y - z = 1 \end{cases}, donde aa es un parámetro real. Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores del parámetro aa para los cuales el sistema es compatible determinado.2 pts
b
Las soluciones del sistema cuando a=3a = 3.4 pts
c
Las soluciones del sistema para los valores de aa que lo hacen compatible indeterminado.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dados los puntos A(−1,2,λ)A(-1, 2, \lambda), B(2,3,5)B(2, 3, 5) y C(3,5,3)C(3, 5, 3), donde λ\lambda es un parámetro real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El valor del parámetro λ\lambda para que el segmento ABAB sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices AA, BB y CC.3 pts
b
El área del triángulo de vértices AA, BB y CC cuando λ=6\lambda = 6.4 pts
c
La ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices AA, BB y CC cuando λ=6\lambda = 6.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la función f(x)=1x2−xf(x) = \frac{1}{x^2 - x}, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El dominio y las asíntotas de la función f(x)f(x).2 pts
b
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f(x)f(x).4 pts
c
El área limitada por la curva y=f(x)y = f(x), el eje de abscisas y las rectas x=2x = 2 y x=3x = 3.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Sea AA una matriz cuadrada tal que A2+2A=3IA^2 + 2A = 3I, donde II es la matriz identidad. Calcular razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores de aa y bb para los cuales A−1=aA+bIA^{-1} = aA + bI.3 pts
b
Los valores de α\alpha y β\beta para los cuales A4=αA+βIA^4 = \alpha A + \beta I.4 pts
c
El determinante de la matriz 2B−12B^{-1}, sabiendo que BB es una matriz cuadrada de orden 33 cuyo determinante es 22.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dados el punto P(5,7,3)P(5, 7, 3) y la recta r:x−3−1=y+13=z2r: \frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{2}, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La recta ss que corta a la recta rr, pasa por el punto PP, y es perpendicular a la recta rr.4 pts
b
La distancia del punto PP a la recta rr.3 pts
c
La distancia del punto Q(1,1,1)Q(1, 1, 1) al plano π\pi que pasa por (3,−1,0)(3, -1, 0) y es perpendicular a rr.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se divide un alambre de longitud 100 cm100\,\text{cm} en dos partes. Con una de ellas, de longitud xx, se construye un triángulo equilátero y con la otra, de longitud 100−x100 - x, se construye un cuadrado. Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La función de la variable xx que expresa la suma de las áreas del triángulo equilátero y del cuadrado, siendo 0≤x≤1000 \leq x \leq 100.4 pts
b
El valor de la variable xx en el intervalo [0,100][0, 100] para el cual dicha función (suma de las áreas en función de xx obtenida en el apartado a)) alcanza su mínimo valor.3 pts
c
El valor de la variable xx en el intervalo [0,100][0, 100] para el cual dicha función alcanza su máximo valor. Interpretar el resultado obtenido.3 pts
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