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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2025ExtraordinariaSuplente 2

Matemáticas II · Andalucía 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno. d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados. h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Obligatorio
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=x3+1x2+1f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}. Calcula una primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (0,5)(0, 5).
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Considera la función f:(−1,1)→Rf: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1(1−∣x∣)2f(x) = \frac{1}{(1 - |x|)^2}.
a
Estudia la continuidad y derivabilidad de la función ff.1,25 pts
b
Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Sean las funciones f:(−1,0)∪(0,1)→Rf: (-1, 0) \cup (0, 1) \rightarrow \mathbb{R} y g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definidas por f(x)=ln⁡(x2e)f(x) = \ln \left( \frac{x^2}{e} \right) y g(x)=x3+2g(x) = x^3 + 2.
a
Calcula a≠0a \neq 0 de forma que en el punto (a,f(a))(a, f(a)) la recta normal a la gráfica de la función ff sea paralela a la recta tangente a la gráfica de gg en el punto (a,g(a))(a, g(a)).1,5 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Considera la matriz A=(0−110)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
a
Calcula A4A^4 y A31A^{31}.1,25 pts
b
Halla razonadamente el determinante de la matriz 4A25(At)44 A^{25} (A^t)^4.1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Sean las matrices A=(2234)A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} y B=(3122)B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
a
Halla razonadamente el determinante de una matriz XX que verifica X3AX2=B2X^3 A X^2 = B^2.1 pt
b
Determina, si existe, una matriz YY que verifique A3YB−1=A2A^3 Y B^{-1} = A^2.1,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

Considera la recta r≡{x+y+z=0y−z=0r \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases} y el punto P(2,1,0)P(2, 1, 0).
a
Halla la distancia del punto PP a la recta rr.1,25 pts
b
Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta rr y al punto PP.1,25 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20%20\%, 50%50\% y 30%30\%. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del 7%7\%, 6%6\% y 2%2\%, respectivamente.
a
¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?1 pt
b
Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?1,5 pts
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