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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2025ExtraordinariaSuplente 2

Matemáticas II · Andalucía 2025

7 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Obligatorio
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=x3+1x2+1f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}. Calcula una primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (0,5)(0, 5).
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Considera la función f:(−1,1)→Rf: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1(1−∣x∣)2f(x) = \frac{1}{(1 - |x|)^2}.
a)1,25 pts
Estudia la continuidad y derivabilidad de la función ff.
b)1,25 pts
Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Sean las funciones f:(−1,0)∪(0,1)→Rf: (-1, 0) \cup (0, 1) \rightarrow \mathbb{R} y g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definidas por f(x)=ln⁡(x2e)f(x) = \ln \left( \frac{x^2}{e} \right) y g(x)=x3+2g(x) = x^3 + 2.
a)1,5 pts
Calcula a≠0a \neq 0 de forma que en el punto (a,f(a))(a, f(a)) la recta normal a la gráfica de la función ff sea paralela a la recta tangente a la gráfica de gg en el punto (a,g(a))(a, g(a)).
b)1 pts
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Considera la matriz A=(0−110)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
a)1,25 pts
Calcula A4A^4 y A31A^{31}.
b)1,25 pts
Halla razonadamente el determinante de la matriz 4A25(At)44 A^{25} (A^t)^4.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Sean las matrices A=(2234)A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} y B=(3122)B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
a)1 pts
Halla razonadamente el determinante de una matriz XX que verifica X3AX2=B2X^3 A X^2 = B^2.
b)1,5 pts
Determina, si existe, una matriz YY que verifique A3YB−1=A2A^3 Y B^{-1} = A^2.
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

Considera la recta r≡{x+y+z=0y−z=0r \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases} y el punto P(2,1,0)P(2, 1, 0).
a)1,25 pts
Halla la distancia del punto PP a la recta rr.
b)1,25 pts
Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta rr y al punto PP.
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20%20\%, 50%50\% y 30%30\%. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del 7%7\%, 6%6\% y 2%2\%, respectivamente.
a)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?
b)1,5 pts
Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?
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