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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2024OrdinariaVariante 2

Matemáticas II · Castilla y León 2024

10 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá escoger libremente cinco ejercicios completos de los diez propuestos. Se expresará claramente cuáles son los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. Los 5 ejercicios se puntuarán sobre un máximo de 2 puntos. Convocatoria: ORDINARIA MEJORA.

Ejercicio E1

E1
2 puntos
Álgebra
**E1.- (Álgebra)** Dado el sistema{3x+2y−z=1x−y+2z=3mx+5y−4z=−1\begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \\ mx + 5y - 4z = -1 \end{cases}a) Estudiar el sistema en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}. **(1,2 puntos)** b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. **(0,8 puntos)**
a
Estudiar el sistema en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}.1,2 pts
b
Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.0,8 pts
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Ejercicio E10

E10
2 puntos
Probabilidad y estadística
**E10.- (Probabilidad y Estadística)** Las notas que han obtenido 1000 opositores siguen una distribución normal de media 4 y desviación típica 10051\dfrac{100}{51}. a) ¿Cuántos opositores ha obtenido una calificación superior a 5? **(1 punto)** b) Sabiendo que los opositores con nota superior a 2 y por debajo de 5 formarán la bolsa de empleo, determinar qué porcentaje de opositores ha quedado en esa situación. **(1 punto)**
a
¿Cuántos opositores ha obtenido una calificación superior a 5?1 pt
b
Sabiendo que los opositores con nota superior a 2 y por debajo de 5 formarán la bolsa de empleo, determinar qué porcentaje de opositores ha quedado en esa situación.1 pt
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Ejercicio E2

E2
2 puntos
Álgebra
**E2.- (Álgebra)** Dadas las matrices A=(11201a)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} y B=(0110−1a)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & a \end{pmatrix} siendo a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Calcula ABAB. **(0,5 puntos)** b) Estudiar para qué valores de aa la matriz ABAB tiene inversa, calculándola cuando a=1a = 1. **(1,5 puntos)**
a
Calcula ABAB.0,5 pts
b
Estudiar para qué valores de aa la matriz ABAB tiene inversa, calculándola cuando a=1a = 1.1,5 pts
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Ejercicio E3

E3
2 puntos
Geometría
**E3.- (Geometría)** Dados el plano π≡2x+y=3\pi \equiv 2x + y = 3 y la recta r≡{x=λy=1−2λz=1r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 1 \end{cases}. a) Hallar la ecuación del plano perpendicular a π\pi, que contenga a rr. **(1 punto)** b) ¿Existe algún plano paralelo a π\pi que contenga a rr? En caso afirmativo calcularlo. **(1 punto)**
a
Hallar la ecuación del plano perpendicular a π\pi, que contenga a rr.1 pt
b
¿Existe algún plano paralelo a π\pi que contenga a rr? En caso afirmativo calcularlo.1 pt
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Ejercicio E4

E4
2 puntos
Geometría
**E4.- (Geometría)** a) Encontrar el valor de a∈Ra \in \mathbb{R}, para que las rectasr≡{x+y−5z=−3−2x+z=1ys≡x+1=y−3a=z2r \equiv \begin{cases} x + y - 5z = -3 \\ -2x + z = 1 \end{cases} \quad y \quad s \equiv x + 1 = \dfrac{y-3}{a} = \dfrac{z}{2}sean paralelas. **(1 punto)** b) Si a=9a = 9, calcular la ecuación del plano que las contiene. **(1 punto)**
a
Encontrar el valor de a∈Ra \in \mathbb{R}, para que las rectas rr y ss sean paralelas.1 pt
b
Si a=9a = 9, calcular la ecuación del plano que las contiene.1 pt
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Ejercicio E5

E5
2 puntos
Análisis
**E5.- (Análisis)** Sea f(x)={xexsi x<0a⋅sen(x)+bsi x≥0f(x) = \begin{cases} xe^x & \text{si } x < 0 \\ a \cdot \text{sen}(x) + b & \text{si } x \geq 0 \end{cases}. Calcular aa y bb para que ff sea continua y derivable en 0. **(2 puntos)**
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Ejercicio E6

E6
2 puntos
Análisis
**E6.- (Análisis)** Dada la función f(x)=ex2f(x) = e^{x^2}, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. **(2 puntos)**
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Ejercicio E7

E7
2 puntos
Análisis
**E7.- (Análisis)** Calcular: a) lim⁡x→0cos⁡(x2)−1sen2(x)\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(x^2)-1}{\text{sen}^2(x)}. **(1 punto)** b) ∫01xex dx\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx. **(1 punto)**
a
lim⁡x→0cos⁡(x2)−1sen2(x)\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(x^2)-1}{\text{sen}^2(x)}.1 pt
b
∫01xex dx\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx.1 pt
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Ejercicio E8

E8
2 puntos
Análisis
**E8.- (Análisis)** Dadas las funciones f(x)=xf(x) = x y g(x)=x3g(x) = x^3: a) Comprobar que sólo se cortan en x=−1x = -1, x=0x = 0 y x=1x = 1. **(0,5 puntos)** b) Hallar el área de la parte del plano limitada por las gráficas de dichas funciones. **(1,5 puntos)**
a
Comprobar que sólo se cortan en x=−1x = -1, x=0x = 0 y x=1x = 1.0,5 pts
b
Hallar el área de la parte del plano limitada por las gráficas de dichas funciones.1,5 pts
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Ejercicio E9

E9
2 puntos
Probabilidad y estadística
**E9.- (Probabilidad y Estadística)** a) Un mensaje es transmitido con errores con una probabilidad de 0,2. Emitimos de forma independiente 3 mensajes. Calcular la probabilidad de que al menos 2 de los 3 mensajes hayan sido transmitidos con errores. **(1 punto)** b) Se consideran los sucesos AA y BB, con P(A)=13P(A) = \dfrac{1}{3}, P(B)=15P(B) = \dfrac{1}{5} y P(A∪B)=12P(A \cup B) = \dfrac{1}{2}. Calcular P(A∩B)P(A \cap B) y P(A/B)P(A/B). **(1 punto)**
a
Un mensaje es transmitido con errores con una probabilidad de 0,2. Emitimos de forma independiente 3 mensajes. Calcular la probabilidad de que al menos 2 de los 3 mensajes hayan sido transmitidos con errores.1 pt
b
Se consideran los sucesos AA y BB, con P(A)=13P(A) = \frac{1}{3}, P(B)=15P(B) = \frac{1}{5} y P(A∪B)=12P(A \cup B) = \frac{1}{2}. Calcular P(A∩B)P(A \cap B) y P(A/B)P(A/B).1 pt
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