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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2025

4 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Para guardar el material escolar, se quiere construir una caja (sin tapa) a partir de una plancha de cartón de 48 cm48\,\text{cm} de largo por 30 cm30\,\text{cm} de ancho, a la que se le ha recortado un cuadrado de lado xx en cada una de sus esquinas (véase el dibujo).
Esquema de la plancha de cartón rectangular con los recortes cuadrados de lado x en las esquinas y dimensiones 48 cm por 30 cm.
Esquema de la plancha de cartón rectangular con los recortes cuadrados de lado x en las esquinas y dimensiones 48 cm por 30 cm.
Dibujo en perspectiva de la caja sin tapa una vez montada.
Dibujo en perspectiva de la caja sin tapa una vez montada.
a)0,75 pts
Determina el volumen de la caja.
b)1 pts
Determina las dimensiones de la caja si se quiere que contenga el mayor volumen posible.
c)0,75 pts
Para poder trasportar la caja cómodamente, se van a realizar dos aberturas. El área de cada una de ellas está encerrada por las curvas f(t)=t2−4tf(t) = t^2 - 4t y g(t)=2t−5g(t) = 2t - 5. Calcula el área de una de las aberturas.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos

Elija y resuelva solo uno de los dos apartados (a o b).

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes:
a)2,5 pts
Para las fiestas del Corpus Christi que se celebran en Toledo, se instalan toldos en las calles por las que transcurre la procesión. En una de ellas, los operarios colocan los siguientes puntos de apoyo: A(0,1,−2)A(0, 1, -2), B(1,2,0)B(1, 2, 0), C(0,0,1)C(0, 0, 1) y D(1,0,k)D(1, 0, k), con k∈Rk \in \mathbb{R}.
a.1)1 pts
Calcula el valor de kk para que los cuatro puntos sean coplanarios.
a.2)0,75 pts
Determina la ecuación del plano π\pi que contiene al toldo.
a.3)0,75 pts
Si los adornos florales deben estar como mínimo a 1 metro de distancia del toldo y se ha colocado un adorno de flores en el punto P(1,2,3)P(1, 2, 3), ¿estará correctamente ubicado?
b)2,5 pts
Resuelve los problemas siguientes:
b.1)1 pts
Calcula la ecuación del plano π′\pi' que pasa por P(1,1,−2)P(1, 1, -2), es paralelo a la recta rr que pasa por los puntos A(1,0,3)A(1, 0, 3) y B(0,4,−1)B(0, 4, -1) y perpendicular al plano π≡−x+y+2z=1\pi \equiv -x + y + 2z = 1.
b.2)1,5 pts
Determina los valores reales de k∈Rk \in \mathbb{R}, para que los puntos A(−1,2,3)A(-1, 2, 3), B(−1,0,−1)B(-1, 0, -1), C(2,−1,1)C(2, -1, 1) y D(2,3,k)D(2, 3, k), formen un tetraedro de volumen 8 unidades cúbicas.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos

Elija y resuelva solo uno de los dos apartados (a o b).

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes.
a)2,5 pts
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {x+y−z=24x+2y=aax+y+z=1\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 4x + 2y = a \\ ax + y + z = 1 \end{cases}
a.1)1,5 pts
Discute la resolución del sistema según los valores que pueda tomar el parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} e indica el número de soluciones en cada caso.
a.2)1 pts
Para a=0a = 0, resuelve el sistema de ecuaciones, de forma razonada.
b)2,5 pts
Dadas las matrices A=(12a1−1−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} y B=(13a002)B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ a & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, con a∈Ra \in \mathbb{R}.
b.1)1,25 pts
Calcula los valores del parámetro para que A⋅BA \cdot B sea invertible. Justifica tu respuesta.
b.2)1,25 pts
Calcula la inversa de A⋅BA \cdot B en función de aa.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos

Elija y resuelva solo uno de los dos apartados (a o b).

Elige y resuelve solo uno de los dos apartados siguientes:
a)2,5 pts
En la entrada del instituto hay tres fotocopiadoras A, B y C cuyos porcentajes de fallos son 3%3\%, 5%5\% y 4%4\%, respectivamente. Un estudiante entra en el instituto y, como las tres fotocopiadoras están libres, elige una al azar.
a.1)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que fotocopie sin fallos?
a.2)1,5 pts
Si al fotocopiar observa que una página es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que se haya utilizado la fotocopiadora B?
b)2,5 pts
Una inspectora de sanidad sabe que el 5%5\% de los restaurantes no pasará una inspección. Si elige 8 restaurantes al azar, calcula:
b.1)0,75 pts
Probabilidad de que tres restaurantes no pasen la inspección.
b.2)0,75 pts
Probabilidad de que todos los restaurantes pasen la inspección.
b.3)1 pts
Probabilidad de que al menos dos restaurantes pasen la inspección.
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