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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSExtremaduraPAU 2021Ordinaria

Matemáticas CCSS · Extremadura 2021

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. El examen consta de 10 problemas cuyo valor máximo es de 2 puntos cada uno. El estudiante ha de elegir 5 problemas. En ningún caso deberá responder a un número mayor del indicado porque en la corrección del examen sólo se tendrán en cuenta los cinco primeros problemas resueltos. Si se desea que alguno de ellos no sea tenido en cuenta, el estudiante ha de tacharlo y dejarlo claramente indicado. En ese caso, además de los cuatros primeros problemas sin tachar, se corregiría el que ocupe el sexto lugar.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Calcular, justificando la respuesta, las matrices XX e YY que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:{3X+2Y=(23−25)2X−3Y=(−32−1012)\begin{cases} 3X + 2Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\ 2X - 3Y = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -10 & 12 \end{pmatrix} \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dadas las matrices A=(1000x−10−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, B=(1−2−345−6)B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} y C=(102130)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} Se pide, justificando las respuestas:
a
Determinar para qué valores de xx no existe la inversa de AA.0,5 pts
b
Para x=2x=2, resuelve la ecuación matricial A⋅X−B=CA \cdot X - B = C.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dadas las matrices A=(1x04)A = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, B=(−21y−3)B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ y & -3 \end{pmatrix}, C=(010−8)C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -8 \end{pmatrix} e I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} la matriz identidad de orden 2, calcular, justificando la respuesta, los valores de xx, yy, zz para que se verifique que At⋅B=C−z⋅IA^t \cdot B = C - z \cdot I, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Un taller tapiza butacas y sillones. Para tapizar una butaca se necesitan 2 m22\,\text{m}^2 de tela con un beneficio de 4040 €, mientras que para tapizar un sillón se necesitan 4 m24\,\text{m}^2 de tela con un beneficio de 100100 €. El taller dispone diariamente de un máximo de 100 m2100\,\text{m}^2 de tela y no puede tapizar más de 4040 butacas ni más de 2020 sillones. Calcular, justificando la respuesta:
a
El número de butacas y de sillones que deben tapizar diariamente para obtener unos beneficios máximos.1,5 pts
b
El valor de dichos beneficios máximos.0,5 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El crecimiento (en cm) de una variedad de trigo, C(x)C(x), en función de la cantidad de fertilizante (en gramos por metro cuadrado) utilizada, xx, viene dado por la función:C(x)=2x3−Ax2+Bx+350≤x≤4C(x) = 2x^3 - Ax^2 + Bx + 35 \qquad 0 \leq x \leq 4Determinar las constantes AA y BB sabiendo que el crecimiento alcanza su mínimo con una dosis de 33 gramos por metro cuadrado y que para esta dosis las plantas de trigo crecen 88 cm.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Las ventas de un producto (en miles de euros), V(t)V(t), en los 66 primeros años desde que se lanzó al mercado, evolucionan de acuerdo con la siguiente función:V(t)=4t3−24t2+36t+1000≤t≤6V(t) = 4t^3 - 24t^2 + 36t + 100 \quad 0 \leq t \leq 6Se pide determinar, razonando las respuestas:
a
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los 66 años.1,5 pts
b
Representar gráficamente la función V(t)V(t).0,5 pts
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Ejercicio 7

7
2 puntos
a
Determinar el área encerrada por la función f(x)=x2−7x+6f(x) = x^2 - 7x + 6 y el eje OXOX entre x=0x = 0 y x=5x = 5.1 pt
b
Determinar, razonando la respuesta, las asíntotas de la función:g(x)=4x2+12(x2−7x+6)g(x) = \frac{4x^2 + 1}{2(x^2 - 7x + 6)}1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Una empresa constructora utiliza tres tipos de piedra en un bloque de edificios: granito (50%50\%), mármol (40%40\%) y artificial (10%10\%). El 10%10\% del granito, el 5%5\% del mármol y el 1%1\% de la artificial presenta grietas por lo que no puede ser instalado. Se pide, razonando la respuesta:
a
Calcular la probabilidad de que, al encargar una piedra, ésta presente grietas.1 pt
b
Calcular la probabilidad de que una piedra, que sabemos que presenta grietas, sea de mármol.1 pt
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Ejercicio 9

9
2 puntos
En un estudio sobre la práctica del deporte en la universidad, se pregunta a 150150 universitarios de los cuales 120120 afirman practicar algún deporte. Calcular, razonando la respuesta, un intervalo de confianza al nivel de confianza del 95%95\% para la proporción de universitarios que practican deporte. Razona la respuesta.
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Ejercicio 10

10
2 puntos
La calificación que obtienen los candidatos que se presentan a una oposición sigue una distribución normal con desviación típica 1,21{,}2 puntos. Si se quiere realizar un estudio sobre la dificultad de las pruebas en dicha oposición, ¿cuántos candidatos deben seleccionarse para obtener un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95%95\%, para la calificación media que tenga una longitud de 0,50{,}5 puntos? Razona la respuesta.
Gráfica de una distribución normal con las áreas de las colas marcadas como α/2 y los valores críticos -t_α y t_α.
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