Matemáticas CCSS · Extremadura 2021

Calcular, justificando la respuesta, las matrices $X$ e $Y$ que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: $$\begin{cases} 3X + 2Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\ 2X - 3Y = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -10 & 12 \end{pmatrix} \end{cases}$$

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ Se pide, justificando las respuestas:

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ y & -3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -8 \end{pmatrix}$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matriz identidad de orden 2, calcular, justificando la respuesta, los valores de $x$, $y$, $z$ para que se verifique que $A^t \cdot B = C - z \cdot I$, siendo $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

Un taller tapiza butacas y sillones. Para tapizar una butaca se necesitan $2\,\text{m}^2$ de tela con un beneficio de $40$ €, mientras que para tapizar un sillón se necesitan $4\,\text{m}^2$ de tela con un beneficio de $100$ €. El taller dispone diariamente de un máximo de $100\,\text{m}^2$ de tela y no puede tapizar más de $40$ butacas ni más de $20$ sillones. Calcular, justificando la respuesta:

El crecimiento (en cm) de una variedad de trigo, $C(x)$, en función de la cantidad de fertilizante (en gramos por metro cuadrado) utilizada, $x$, viene dado por la función: $$C(x) = 2x^3 - Ax^2 + Bx + 35 \qquad 0 \leq x \leq 4$$ Determinar las constantes $A$ y $B$ sabiendo que el crecimiento alcanza su mínimo con una dosis de $3$ gramos por metro cuadrado y que para esta dosis las plantas de trigo crecen $8$ cm.

Las ventas de un producto (en miles de euros), $V(t)$, en los $6$ primeros años desde que se lanzó al mercado, evolucionan de acuerdo con la siguiente función: $$V(t) = 4t^3 - 24t^2 + 36t + 100 \quad 0 \leq t \leq 6$$ Se pide determinar, razonando las respuestas:

Una empresa constructora utiliza tres tipos de piedra en un bloque de edificios: granito ($50\%$), mármol ($40\%$) y artificial ($10\%$). El $10\%$ del granito, el $5\%$ del mármol y el $1\%$ de la artificial presenta grietas por lo que no puede ser instalado. Se pide, razonando la respuesta:

En un estudio sobre la práctica del deporte en la universidad, se pregunta a $150$ universitarios de los cuales $120$ afirman practicar algún deporte. Calcular, razonando la respuesta, un intervalo de confianza al nivel de confianza del $95\%$ para la proporción de universitarios que practican deporte. Razona la respuesta.

La calificación que obtienen los candidatos que se presentan a una oposición sigue una distribución normal con desviación típica $1{,}2$ puntos. Si se quiere realizar un estudio sobre la dificultad de las pruebas en dicha oposición, ¿cuántos candidatos deben seleccionarse para obtener un intervalo de confianza, al nivel de confianza del $95\%$, para la calificación media que tenga una longitud de $0{,}5$ puntos? Razona la respuesta.