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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2010

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué es lo que quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se pueden usar calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Si sumamos 2 unidades al denominador de una fracción, la nueva fracción vale 1 unidad. En cambio, si sumamos 3 unidades al numerador de la fracción original, la nueva fracción vale 2 unidades. Determine la fracción original.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considere la función f(x)=x3−ax2+9x+bf(x) = x^3 - ax^2 + 9x + b.
a
Determine aa y bb, sabiendo que la gráfica de ff pasa por el punto (2,2)(2, 2) y tiene un extremo en x=1x = 1.1 pt
b
Para a=6a = 6 y b=0b = 0, determine los posibles máximos y mínimos de ff y clasifíquelos.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Un fondo de inversiones pone en marcha un producto financiero que aporta un beneficio de R(x)R(x) euros al realizar una inversión de xx centenares de euros, según la función R(x)=−0,01x2+4x+20R(x) = -0{,}01x^2 + 4x + 20.
a
Calcule qué inversión produce más beneficios.1 pt
b
Calcule el tanto por ciento de beneficio que se obtendrá con una inversión de 10001000 €, y el que se obtendrá con una de 1000010000 €.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Considere la región del plano representada en la figura siguiente:
Región factible definida por un cuadrilátero con vértices A(4,6), B(5,5), C(1,1) y D(1,4) en un sistema de ejes cartesianos.
a
Determine las inecuaciones que definen los puntos interiores y los puntos de la frontera del cuadrilátero ABCDABCD.1 pt
b
Determine los puntos en los que se alcanza el máximo y el mínimo de la función f(x,y)=2x−2y+7f(x, y) = 2x - 2y + 7, y diga cuáles son estos valores.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Considere las matrices siguientes:A=(21−4−2)B=(165−4)C=(0110) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
a
Determine la matriz XX para que X+BC=A2X + BC = A^2.1 pt
b
Calcule las matrices C6C^6 y C7C^7.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dada la función siguiente:f(x)=x2x2−1f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}
a
Determine su dominio y los valores de xx para los cuales el signo de la función ff es negativo.1 pt
b
Determine las asíntotas horizontales y verticales de la función ff.1 pt
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