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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2013

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. La puntuación de cada ejercicio aparece indicada al inicio del mismo y se distribuirá de forma razonable entre los distintos apartados (no necesariamente con el mismo peso). Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
1 punto
Dibuja dos vectores y el vector diferencia de ambos. Calcula el ángulo que forman dos vectores distintos u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} que tienen el mismo módulo que el vector diferencia de ambos u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}. (Puede serte útil el dibujo previo.)
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Ejercicio 2

2
1 punto
Sea AA una matriz cuadrada de orden 3 y con determinante ∣A∣=2|A| = 2. Calcula los determinantes de la matriz 2A2A, la inversa A−1A^{-1} y la traspuesta AtA^t.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dependiendo de los valores de aa, estudia la continuidad de la función:f(x)={(ex−1)2ex2−1si x≠0asi x=0f(x) = \begin{cases} \frac{(e^x - 1)^2}{e^{x^2} - 1} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Enuncia el Teorema del valor medio de Lagrange. Para la funciónf(x)={xsen⁡xsi x≤πacos⁡x+bsi x>πf(x) = \begin{cases} x \sen x & \text{si } x \leq \pi \\ a \cos x + b & \text{si } x > \pi \end{cases}
i
Estudia la derivabilidad de f(x)f(x) en función de aa y bb; expresa la función derivada f′(c)f'(c) donde exista.
ii
Calcula el área que determina la función f(x)f(x) en el intervalo [0,π][0, \pi].
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Encuentra un valor de a≠0a \neq 0 para que las rectas{x+y−5z=−3−2x+z=1yx+1=y−3a=z2\begin{cases} x + y - 5z = -3 \\ -2x + z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad x + 1 = \frac{y - 3}{a} = \frac{z}{2}sean paralelas. Para el valor de aa que has encontrado, calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
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Ejercicio 1

1
1 punto
Dibuja dos vectores y el vector diferencia de ambos. Calcula el ángulo que forman dos vectores distintos u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} que tienen el mismo módulo que el vector diferencia de ambos u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}. (Puede serte útil el dibujo previo.)
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Ejercicio 2

2
1 punto
Sea AA una matriz cuadrada de orden 3 y con determinante ∣A∣=2|A| = 2. Calcula los determinantes de la matriz 2A2A, la inversa A−1A^{-1} y la traspuesta AtA^t.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dependiendo de los valores de aa, estudia la continuidad de la función:f(x)={(ex−1)2ex2−1si x≠0asi x=0f(x) = \begin{cases} \frac{(e^x - 1)^2}{e^{x^2} - 1} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos y los puntos de inflexión de la función f(x)=xexf(x) = x e^x. Con los datos obtenidos, haz una representación gráfica aproximada de f(x)f(x).
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Discute el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro aa y resuelve cuando sea compatible determinado:{(a−3)y+4z=2y−2z=−1ax−y+2z=a\begin{cases} (a - 3)y + 4z = 2 \\ y - 2z = -1 \\ ax - y + 2z = a \end{cases}
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