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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Canarias 2021

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Configure su examen con cuatro preguntas seleccionadas entre las parejas 1A-1B, 2A-2B, 3A-3B y 4A-4B, correspondientes a cada uno de los bloques de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque de contenido, se considerará sólo la primera pregunta respondida de ese bloque. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. - Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dada la función f(x)={x2+a2x−4x≤010x2+x+bx>0f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + a}{2x - 4} & x \leq 0 \\ 10x^2 + x + b & x > 0 \end{cases} Calcular los valores de los parámetros aa y bb para que la función f(x)f(x) sea continua y derivable en R\mathbb{R}. Dar las expresiones de la función f(x)f(x) y de su derivada f′(x)f'(x).
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque 1Análisis

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dadas las funciones: f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x y g(x)=4−4xg(x) = 4 - 4x
a
Esbozar el gráfico del recinto limitado por las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x).1,25 pts
b
Determinar el área del recinto limitado por las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x).1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dadas las matrices A=(124−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} y B=(1−142)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}
a
Sea la matriz M=A+c⋅BM = A + c \cdot B, donde cc es un número real cualquiera. Calcular los valores de cc de forma que el rango⁡(M)=1\operatorname{rango}(M) = 1.1 pt
b
Sea la matriz D=A2+B⋅AD = A^2 + B \cdot A. Averiguar la matriz XX que cumple la siguiente ecuación matricial: D⋅X=−30(2304)D \cdot X = -30 \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}.1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque.

En la liga Mate-Basket, las mujeres matemáticas con mayor puntuación son: Lovelace, Noerther y Germain. Las tres acumulan 17500 puntos. Además, lo que ha anotado Germain más 2500 puntos es equivalente a la mitad de lo anotado por Lovelace. Finalmente, Noerther anotó el doble que Germain. ¿Cuál es el ranking de puntuaciones de la liga Mate-Basket de las jugadoras Lovelace, Noerther y Germain?
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional:r ⁣:5−x=y−3=5−zr \colon 5 - x = y - 3 = 5 - zπ ⁣:3x−4y−8z+35=0\pi \colon 3x - 4y - 8z + 35 = 0
a
Comprobar que la recta rr y el plano π\pi se cortan en un punto. Averiguar dicho punto.1,5 pts
b
Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,2,2)P(2, 2, 2), paralelo a la recta rr, y perpendicular al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Dado el plano π ⁣:−x+3y+2z+5=0\pi \colon -x + 3y + 2z + 5 = 0 y las rectas secantes r ⁣:x−52=y+2=1−zr \colon \frac{x - 5}{2} = y + 2 = 1 - z y s ⁣:x+16=y−2=zs \colon \frac{x + 1}{6} = \frac{y}{-2} = z
a
Sea AA el punto de intersección de las rectas rr y ss. Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano π\pi y que pasa por AA.1,5 pts
b
Calcular el ángulo que forman las rectas rr y ss.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Con el objetivo de llevar a cabo el proceso de control de calidad de las arandelas, estas se organizan en lotes de 20 arandelas. Si la probabilidad de que una arandela sea defectuosa es de 0,010{,}01 y considerando independencia de sucesos:
a
Determinar si la probabilidad de encontrar en un lote 1 o 2 arandelas defectuosas es mayor del 20%.1,25 pts
b
Si un lote se rechaza cuando se encuentra al menos una arandela defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote?0,75 pts
c
¿Cuál es el número esperado de arandelas sin defectos si el lote fuera de 200 arandelas?0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque.

Suponiendo que el tiempo de espera en la cola de Correos sigue una distribución normal de media 7,57{,}5 minutos con 22 minutos de desviación típica.
Gráfico de la función de distribución de una normal estándar mostrando el área bajo la curva $F(x) = P(Z \leq x)$.
a
Hallar el porcentaje de personas que esperan más de 9 minutos.1,25 pts
b
Correos afirma que: “Menos del 40% de las personas que acuden a Correos esperan entre 7 y 10 minutos”. ¿Es correcta la afirmación?1,25 pts
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