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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2026

5 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a los cinco ejercicios. En el cuarto y el quinto, elige una de las dos opciones.
Puntuación
Cada ejercicio vale 2 puntos.
Material
No se permiten calculadoras con pantalla gráfica, transmisión de datos, programación, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, derivadas o integrales, o almacenamiento de datos alfanuméricos.
Además
Si respondes a las dos opciones de un ejercicio, solo se corrige la que aparece en primer lugar.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera un gas ideal clásico en equilibrio térmico a temperatura TT. El sistema viene descrito por la estadística de Maxwell-Boltzmann. A pesar de que el módulo de la velocidad de las moléculas del gas no es gaussiano, cada componente cartesiana de la velocidad sí lo es. Teniendo en cuenta la primera componente de la velocidad, su distribución normal es N(0,kBTm)N\left(0,\dfrac{k_B T}{m}\right), siendo kBk_B la constante de Boltzmann y mm la masa de una molécula del gas considerado. En el caso del nitrógeno a T=300 KT = 300\,\text{K}, la desviación típica es kBTm=298 m/s\dfrac{k_B T}{m} = 298\,\text{m/s}.
a
Calcula la probabilidad de que el valor absoluto de la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno a una temperatura de 300 K300\,\text{K} sea inferior a 300 m/s300\,\text{m/s}.0,75 pts
b
Calcula la probabilidad de que la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno a una temperatura de 300 K300\,\text{K} esté comprendida entre −600 m/s-600\,\text{m/s} y −300 m/s-300\,\text{m/s}.0,75 pts
c
Un investigador estudia otro gas, argón, cuyas moléculas tienen mayor masa que las del nitrógeno y, por tanto, si se mantiene la temperatura TT, la desviación típica correspondiente es menor. Sin realizar ningún cálculo numérico, responde razonadamente: ¿la probabilidad de que la primera componente de la velocidad de una molécula de argón tenga valor absoluto menor que 300 m/s300\,\text{m/s} será mayor, menor o igual que en el caso de una molécula de nitrógeno? Justifica tu respuesta utilizando la expresión de la desviación típica, σ=kBTm\sigma = \dfrac{k_B T}{m}.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Dado a≠0a \neq 0, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{x+ay=1,x+ay+z=a,(a−2)x+ay+(a−1)z=a+2.\begin{cases}x + ay = 1, \\ x + ay + z = a, \\ (a - 2)x + ay + (a - 1)z = a + 2.\end{cases}
a
Encuentra un valor de aa para el que el sistema dado tiene más de una solución.1 pt
b
Encuentra todas las soluciones del sistema para el valor de aa del apartado anterior.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Dibuja el recinto limitado por las parábolas de ecuaciones y=x(2x−3)y = x(2x - 3) e y=x(2−x)y = x(2 - x).1 pt
b
Calcula el área del recinto del apartado (a), y da el resultado como una fracción.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos

Responde solo a una de las opciones.

Sean la recta r≡x=y−1=−zr \equiv x = y - 1 = -z, y el plano π≡−x+2y+z+A=0\pi \equiv -x + 2y + z + A = 0.
a
Discute la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi en función de los valores del parámetro AA.1,5 pts
b
Calcula la distancia de la recta rr al plano π\pi en función de los valores del parámetro AA.0,5 pts
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Responde solo a una de las opciones.

Sean los puntos A=(1,1,2)A = (1, 1, 2) y B=(−1,0,3)B = (-1, 0, 3).
a
Encuentra la ecuación del plano π\pi que cumple que AA y BB son simétricos con respecto a π\pi.1,5 pts
b
¿Cuál es la distancia de AA a π\pi?0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2 puntos

Responde solo a una de las opciones.

Un montículo de hormigón tiene forma parabólica con una altura de 12 m12\,\text{m} y una base de 6 m6\,\text{m}, como se ve en la figura. Se quiere colocar una escalera apoyada en el montículo y de forma que su extremo superior quede 3 m3\,\text{m} por encima de la cúspide del montículo. ¿A qué distancia de la base del montículo debe colocarse el extremo inferior de la escalera?
Montículo parabólico de 12 m de altura y 6 m de base, con una escalera apoyada que sobresale 3 m por encima de la cúspide.
Ver este ejercicio

Responde solo a una de las opciones.

En el suelo de una sala rectangular con paredes que miden 6 m6\,\text{m} y 8 m8\,\text{m} se quiere acotar una zona triangular colocando una barra recta de 4 m4\,\text{m} de longitud, como se ve en la figura. ¿Dónde debe colocarse la barra para que el área de la zona acotada sea máxima?
Sala rectangular de 6 m por 8 m con una barra de 4 m que delimita una zona triangular sombreada en una esquina.
Ver este ejercicio

Formulario

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Áreas limitadas por la curva N(0,1)N(0, 1) desde −∞-\infty hasta zz
Curva normal con el área sombreada desde menos infinito hasta z.
0,000,010,02
0,00,50000,50400,5080
0,10,53980,54380,5478
0,20,57930,58320,5871
0,30,61790,62170,6255
0,40,65540,65910,6628
0,50,69150,69500,6985
0,60,72570,72910,7324
0,70,75800,76110,7642
0,80,78810,79100,7939
0,90,81590,81860,8212
1,00,84130,84380,8461
1,10,86430,86650,8686
1,20,88490,88690,8888
1,30,90320,90490,9066
1,40,91920,92070,9222
1,50,93320,93450,9357
1,60,94520,94630,9474
1,70,95540,95640,9573
1,80,96410,96490,9656
1,90,97130,97190,9726
2,00,97720,97780,9783
2,10,98210,98260,9830
2,20,98610,98640,9868
2,30,98930,98960,9898
2,40,99180,99200,9922
2,50,99380,99400,9941
2,60,99530,99550,9956
2,70,99650,99660,9967
2,80,99740,99750,9976
2,90,99810,99820,9982
3,00,99870,99870,9987
3,10,99900,99910,9991
3,20,99930,99930,9994
3,30,99950,99950,9995
3,40,99970,99970,9997
3,50,99980,99980,9998
3,60,99980,99980,9999
3,70,99990,99990,9999
3,80,99990,99990,9999
3,91,00001,00001,0000
0,030,040,05
0,00,51200,51600,5199
0,10,55170,55570,5596
0,20,59100,59480,5987
0,30,62930,63310,6368
0,40,66640,67000,6736
0,50,70190,70540,7088
0,60,73570,73890,7422
0,70,76730,77040,7734
0,80,79670,79950,8023
0,90,82380,82640,8289
1,00,84850,85080,8531
1,10,87080,87290,8749
1,20,89070,89250,8944
1,30,90820,90990,9115
1,40,92360,92510,9265
1,50,93700,93820,9394
1,60,94840,94950,9505
1,70,95820,95910,9599
1,80,96640,96710,9678
1,90,97320,97380,9744
2,00,97880,97930,9798
2,10,98340,98380,9842
2,20,98710,98750,9878
2,30,99010,99040,9906
2,40,99250,99270,9929
2,50,99430,99450,9946
2,60,99570,99590,9960
2,70,99680,99690,9970
2,80,99770,99770,9978
2,90,99830,99840,9984
3,00,99880,99880,9989
3,10,99910,99920,9992
3,20,99940,99940,9994
3,30,99960,99960,9996
3,40,99970,99970,9997
3,50,99980,99980,9998
3,60,99990,99990,9999
3,70,99990,99990,9999
3,80,99990,99990,9999
3,91,00001,00001,0000
0,060,070,08
0,00,52390,52790,5319
0,10,56360,56750,5714
0,20,60260,60640,6103
0,30,64060,64430,6480
0,40,67720,68080,6844
0,50,71230,71570,7190
0,60,74540,74860,7517
0,70,77640,77940,7823
0,80,80510,80780,8106
0,90,83150,83400,8365
1,00,85540,85770,8599
1,10,87700,87900,8810
1,20,89620,89800,8997
1,30,91310,91470,9162
1,40,92790,92920,9306
1,50,94060,94180,9429
1,60,95150,95250,9535
1,70,96080,96160,9625
1,80,96860,96930,9699
1,90,97500,97560,9761
2,00,98030,98080,9812
2,10,98460,98500,9854
2,20,98810,98840,9887
2,30,99090,99110,9913
2,40,99310,99320,9934
2,50,99480,99490,9951
2,60,99610,99620,9963
2,70,99710,99720,9973
2,80,99790,99790,9980
2,90,99850,99850,9986
3,00,99890,99890,9990
3,10,99920,99920,9993
3,20,99940,99950,9995
3,30,99960,99960,9996
3,40,99970,99970,9997
3,50,99980,99980,9998
3,60,99990,99990,9999
3,70,99990,99990,9999
3,80,99990,99990,9999
3,91,00001,00001,0000
0,09
0,00,5359
0,10,5753
0,20,6141
0,30,6517
0,40,6879
0,50,7224
0,60,7549
0,70,7852
0,80,8133
0,90,8389
1,00,8621
1,10,8830
1,20,9015
1,30,9177
1,40,9319
1,50,9441
1,60,9545
1,70,9633
1,80,9706
1,90,9767
2,00,9817
2,10,9857
2,20,9890
2,30,9916
2,40,9936
2,50,9952
2,60,9964
2,70,9974
2,80,9981
2,90,9986
3,00,9990
3,10,9993
3,20,9995
3,30,9997
3,40,9998
3,50,9998
3,60,9999
3,70,9999
3,80,9999
3,91,0000