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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2025

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos

Responda a 1A o 1B (solo uno).

Considere el siguiente sistema de ecuaciones: {x+y+z=12x+2y+kz=2x+ky+3z=0\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + kz = 2 \\ x + ky + 3z = 0 \end{cases}
a)1 pts
Discute el sistema en función del parámetro kk.
b)0,5 pts
Calcule su solución en el caso en el que sea compatible indeterminado.
c)1 pts
Calcule su solución (expresada en función de kk) para cualquier valor de kk para el que el sistema sea compatible determinado.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos

Responda a 1A o 1B (solo uno).

Sea AA una matriz cuadrada de orden 3 que cumple que A2=OA^2 = O, donde OO es la matriz nula de orden 3 (todos sus elementos son cero).
a)0,75 pts
Demuestre que (A+I)2=2A+I(A + I)^2 = 2A + I y que (A+I)3=3A+I(A + I)^3 = 3A + I, donde II es la matriz identidad de orden 3.
b)0,75 pts
Demuestre que la matriz I−AI - A es inversa de la matriz I+AI + A.
c)1 pts
Resuelva la ecuación matricial X+AX=AX + AX = A expresando XX en función de AA.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos

Responda a 2A o 2B (solo uno).

Calcule los siguientes límites:
a)1 pts
lim⁡x→0+(1x−1sen⁡(x))\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\sen(x)} \right)
b)0,5 pts
lim⁡x→+∞2x2+19x2+5\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{9x^2 + 5}
c)1 pts
lim⁡x→+∞x(e1/x−1)\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1)
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos

Responda a 2A o 2B (solo uno).

Considere la función f(x)=tg⁡3(x)f(x) = \tg^3(x).
a)1,5 pts
Calcule la integral indefinida ∫f(x)dx\int f(x) dx.
b)0,75 pts
Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje OXOX entre los valores x=0x = 0 y x=π/4x = \pi/4.
c)0,25 pts
Demuestre, sin aproximar con números decimales, que el área pedida en el apartado anterior es igual a 12ln⁡(e/2)\frac{1}{2} \ln(e/2).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos

Responda a 3A o 3B (solo uno).

Determine el valor de aa y bb para que el plano π:2x+y+az=b\pi: 2x + y + az = b contenga a la recta r:{x+y+z=1−x−2y+z=0r: \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases}
a)1,25 pts
Determine el valor de aa y bb para que el plano π\pi contenga a la recta rr.
b)1,25 pts
¿Para qué valores de aa y bb corta a π\pi? Halle el punto de corte en el caso a=0a = 0 y b=7b = 7.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos

Responda a 3A o 3B (solo uno).

Un helicóptero situado en el punto P(1,2,1)P(1, 2, 1) quiere aterrizar en el plano π:x+y+3z=0\pi: x + y + 3z = 0.
a)1 pts
Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que lo lleve al punto más cercano a π\pi.
b)0,75 pts
Halle dicho punto.
c)0,75 pts
Calcule la distancia que debe recorrer.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos

Responda a 4A o 4B (solo uno).

En un cine hay tres salas. En la sala S1S_1 hay 240 espectadores, en la sala S2S_2 hay 180 y en la sala S3S_3 hay 80. Se sabe que la película de la sala S1S_1 gusta al 40%40\% de los espectadores, la de la sala S2S_2 al 50%50\% y la de la sala S3S_3 al 90%90\%. Cuando acaban las tres películas se elige a un espectador al azar.
a)1 pts
Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.
b)0,5 pts
Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala S3S_3.
c)1 pts
Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala S3S_3 si le ha gustado.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos

Responda a 4A o 4B (solo uno).

Un avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea ha vendido para un día 280 billetes. La compañía sabe que el 95%95\% de los que compran un billete se presenta en el aeropuerto el día correspondiente. Consideramos el número de pasajeros que se presentan el día en el que se vendieron los 280 billetes.
a)0,5 pts
Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica.
b)0,75 pts
Calcule la probabilidad de que falten plazas en el avión.
c)0,5 pts
Calcule la probabilidad de que no falten plazas en el avión.
d)0,75 pts
Calcule la probabilidad de que ni sobren ni falten plazas en el avión.
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