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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2025

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. NOTA IMPORTANTE: Las cuestiones se pueden hacer en cualquier orden. En cada cuestión se debe hacer solo la opción A o la opción B. La elección de A o B puede cambiar de una cuestión a otra. Si se responden las 2 OPCIONES de una cuestión, sólo se corregirá la primera cuestión contestada. La puntuación máxima de cada cuestión es 2,5 puntos. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos

Responda a 1A o 1B (solo uno).

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:{x+y+z=12x+2y+kz=2x+ky+3z=0\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + kz = 2 \\ x + ky + 3z = 0 \end{cases}
a
Discute el sistema en función del parámetro kk.1 pt
b
Calcule su solución en el caso en el que sea compatible indeterminado.0,5 pts
c
Calcule su solución (expresada en función de kk) para cualquier valor de kk para el que el sistema sea compatible determinado.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos

Responda a 1A o 1B (solo uno).

Sea AA una matriz cuadrada de orden 3 que cumple que A2=OA^2 = O, donde OO es la matriz nula de orden 3 (todos sus elementos son cero).
a
Demuestre que (A+I)2=2A+I(A + I)^2 = 2A + I y que (A+I)3=3A+I(A + I)^3 = 3A + I, donde II es la matriz identidad de orden 3.0,75 pts
b
Demuestre que la matriz I−AI - A es inversa de la matriz I+AI + A.0,75 pts
c
Resuelva la ecuación matricial X+AX=AX + AX = A expresando XX en función de AA.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos

Responda a 2A o 2B (solo uno).

Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→0+(1x−1sen⁡(x))\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\sen(x)} \right)1 pt
b
lim⁡x→+∞2x2+19x2+5\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{9x^2 + 5}0,5 pts
c
lim⁡x→+∞x(e1/x−1)\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1)1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos

Responda a 2A o 2B (solo uno).

Considere la función f(x)=tg⁡3(x)f(x) = \tg^3(x).
a
Calcule la integral indefinida ∫f(x)dx\int f(x) dx.1,5 pts
b
Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje OXOX entre los valores x=0x = 0 y x=π/4x = \pi/4.0,75 pts
c
Demuestre, sin aproximar con números decimales, que el área pedida en el apartado anterior es igual a 12ln⁡(e/2)\frac{1}{2} \ln(e/2).0,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos

Responda a 3A o 3B (solo uno).

Determine el valor de aa y bb para que el plano π:2x+y+az=b\pi: 2x + y + az = b contenga a la rectar:{x+y+z=1−x−2y+z=0r: \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases}
a
Determine el valor de aa y bb para que el plano π\pi contenga a la recta rr.1,25 pts
b
¿Para qué valores de aa y bb corta a π\pi? Halle el punto de corte en el caso a=0a = 0 y b=7b = 7.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos

Responda a 3A o 3B (solo uno).

Un helicóptero situado en el punto P(1,2,1)P(1, 2, 1) quiere aterrizar en el plano π:x+y+3z=0\pi: x + y + 3z = 0.
a
Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que lo lleve al punto más cercano a π\pi.1 pt
b
Halle dicho punto.0,75 pts
c
Calcule la distancia que debe recorrer.0,75 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos

Responda a 4A o 4B (solo uno).

En un cine hay tres salas. En la sala S1S_1 hay 240 espectadores, en la sala S2S_2 hay 180 y en la sala S3S_3 hay 80. Se sabe que la película de la sala S1S_1 gusta al 40%40\% de los espectadores, la de la sala S2S_2 al 50%50\% y la de la sala S3S_3 al 90%90\%. Cuando acaban las tres películas se elige a un espectador al azar.
a
Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.1 pt
b
Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala S3S_3.0,5 pts
c
Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala S3S_3 si le ha gustado.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos

Responda a 4A o 4B (solo uno).

Un avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea ha vendido para un día 280 billetes. La compañía sabe que el 95%95\% de los que compran un billete se presenta en el aeropuerto el día correspondiente. Consideramos el número de pasajeros que se presentan el día en el que se vendieron los 280 billetes.
a
Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica.0,5 pts
b
Calcule la probabilidad de que falten plazas en el avión.0,75 pts
c
Calcule la probabilidad de que no falten plazas en el avión.0,5 pts
d
Calcule la probabilidad de que ni sobren ni falten plazas en el avión.0,75 pts
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