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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2011

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro cuestiones de la opción elegida puntuará 2'5 puntos como máximo. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la matriz AA:
a
Diga, razonadamente, si la tercera columna de la matriz AA siguiente es combinación lineal de las dos primeras columnas:A=(12−3001−11−101−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}1,25 pts
b
Calcule el rango de la matriz AA.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos A=(1,0,0)A = (1, 0, 0) y B=(1,−1,0)B = (1, -1, 0) y sea ss la recta que pasa por los puntos C=(0,1,1)C = (0, 1, 1) y D=(1,0,−1)D = (1, 0, -1).
a
Calcule el plano Π\Pi que contiene a ss y es paralelo a rr.1,5 pts
b
Calcule la distancia entre las rectas rr y ss.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Determine valores de los parámetros aa y bb para que la función f(x)=acos⁡2x+bx3+x2f(x) = a \cos^2 x + bx^3 + x^2 tenga un punto de inflexión en x=0x = 0.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=x2⋅ln⁡x2f(x) = x^2 \cdot \ln x^2 que cumpla F(1)=0F(1) = 0.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Discuta, en función del parámetro bb, el sistema de ecuaciones{y+bz=1+bx+z=3−bbx−by=1−b\begin{cases} y + bz = 1 + b \\ x + z = 3 - b \\ bx - by = 1 - b \end{cases}(no es necesario resolverlo en ningún caso).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere los puntos A=(1,0,0)A = (1, 0, 0), B=(−1,0,−1)B = (-1, 0, -1) y C=(0,−1,0)C = (0, -1, 0).
a
Calcule las ecuaciones implícitas de la recta rr que pasa por los puntos AA y BB.0,75 pts
b
De todos los planos que contienen a la recta rr, obtenga uno cuya distancia al punto CC sea igual a 1.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule el límitelim⁡x→0ex−e−x−2xsen⁡2x\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{\sen^2 x}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere la función f(x)=xex2−1f(x) = x e^{x^2 - 1}.
a
Represente, de forma aproximada, la gráfica de la función f(x)=xex2−1f(x) = x e^{x^2 - 1}. Señale el recinto plano limitado por dicha gráfica, el eje OX, la recta x=−1x = -1 y la recta x=1x = 1.1,25 pts
b
Calcule el área del recinto del apartado anterior.1,25 pts
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