Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{ax−ay+3z=a−2x+3y−2z=−12x−y+z=a\begin{cases} ax - ay + 3z = a \\ -2x + 3y - 2z = -1 \\ 2x - y + z = a \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real aa.1,5 pts
b
Resuélvalo, si es posible, en el caso a=1a = 1.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las rectas r1:{2x−y=1x−z=2r_1: \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x - z = 2 \end{cases} y r2:{2x−y=2y−2z=−2r_2: \begin{cases} 2x - y = 2 \\ y - 2z = -2 \end{cases}.
a
Estudie la posición relativa de r1r_1 y r2r_2.0,75 pts
b
Encuentre, si es posible, la ecuación implícita de un plano perpendicular a ambas rectas pasando por A(0,−2,0)A(0, -2, 0).0,75 pts
c
Encuentre la distancia entre r1r_1 y r2r_2.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Obtenga lim⁡x→0(ctg⁡x−1x)\lim_{x \to 0} (\operatorname{ctg} x - \frac{1}{x}).
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Dibuje el recinto limitado por la curva y=x2y = x^2, la bisectriz del primer y tercer cuadrante, el eje de abscisas y la recta x=2x = 2.1 pt
b
Halle el área del recinto dibujado en a).1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dados los números reales a,b,c,xa, b, c, x, se considera la matriz A=(abcaxcabx)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ a & x & c \\ a & b & x \end{pmatrix}.
a
Halle los valores de xx para los cuales el determinante de AA es nulo para cualesquiera valores de a,b,ca, b, c.0,75 pts
b
Si x=1x = 1 y b=c=2b = c = 2, halle los valores de aa para los cuales AA tiene inversa.0,75 pts
c
Halle, si es posible, la inversa de AA cuando x=0x = 0 y b=c=a=1b = c = a = 1.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la recta r:x−11=y−12=z+11r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}
a
Obtenga el punto P′P' simétrico de P(1,2,1)P(1, 2, 1) respecto de rr.1 pt
b
Halle la distancia de PP a rr.0,75 pts
c
Halle la distancia de PP a P′P'.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El propietario de la empresa “Asturfabril” ha estimado que si compra “xx” máquinas y contrata “yy” empleados, el número de unidades de producto que podía fabricar vendría dado por la función f(x,y)=9x⋅y2f(x, y) = 9x \cdot y^2. Sabiendo que tiene un presupuesto de 2250022500 €, que cada máquina supone una inversión de 25002500 € y cada contrato de un nuevo empleado 15001500 €, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para optimizar la producción.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Obtenga ∫e2x+1cos⁡x dx\int e^{2x + 1} \cos x \, dx.
Ver este ejercicio