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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2015

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dado el sistema {ax−ay+3z=a−2x+3y−2z=−12x−y+z=a\begin{cases} ax - ay + 3z = a \\ -2x + 3y - 2z = -1 \\ 2x - y + z = a \end{cases}
a)1,5 pts
Estudie su compatibilidad según los distintos valores del número real aa.
b)1 pts
Resuélvalo, si es posible, en el caso a=1a = 1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dados los números reales a,b,c,xa, b, c, x, se considera la matriz A=(abcaxcabx)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ a & x & c \\ a & b & x \end{pmatrix}.
a)0,75 pts
Halle los valores de xx para los cuales el determinante de AA es nulo para cualesquiera valores de a,b,ca, b, c.
b)0,75 pts
Si x=1x = 1 y b=c=2b = c = 2, halle los valores de aa para los cuales AA tiene inversa.
c)1 pts
Halle, si es posible, la inversa de AA cuando x=0x = 0 y b=c=a=1b = c = a = 1.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Considere las rectas r1:{2x−y=1x−z=2r_1: \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x - z = 2 \end{cases} y r2:{2x−y=2y−2z=−2r_2: \begin{cases} 2x - y = 2 \\ y - 2z = -2 \end{cases}.
a)0,75 pts
Estudie la posición relativa de r1r_1 y r2r_2.
b)0,75 pts
Encuentre, si es posible, la ecuación implícita de un plano perpendicular a ambas rectas pasando por A(0,−2,0)A(0, -2, 0).
c)1 pts
Encuentre la distancia entre r1r_1 y r2r_2.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Considere la recta r:x−11=y−12=z+11r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}
a)1 pts
Obtenga el punto P′P' simétrico de P(1,2,1)P(1, 2, 1) respecto de rr.
b)0,75 pts
Halle la distancia de PP a rr.
c)0,75 pts
Halle la distancia de PP a P′P'.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Obtenga lim⁡x→0(ctg⁡x−1x)\lim_{x \to 0} (\operatorname{ctg} x - \frac{1}{x}).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
El propietario de la empresa “Asturfabril” ha estimado que si compra “xx” máquinas y contrata “yy” empleados, el número de unidades de producto que podía fabricar vendría dado por la función f(x,y)=9x⋅y2f(x, y) = 9x \cdot y^2. Sabiendo que tiene un presupuesto de 2250022500 €, que cada máquina supone una inversión de 25002500 € y cada contrato de un nuevo empleado 15001500 €, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para optimizar la producción.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1 pts
Dibuje el recinto limitado por la curva y=x2y = x^2, la bisectriz del primer y tercer cuadrante, el eje de abscisas y la recta x=2x = 2.
b)1,5 pts
Halle el área del recinto dibujado en a).
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Obtenga ∫e2x+1cos⁡x dx\int e^{2x + 1} \cos x \, dx.
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