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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
• Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. • En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. • La duración del examen será de 90 minutos. • No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Determinar los valores de aa y de bb para que la función:f(x)={eaxx≤02a+bsen⁡x0<xf(x) = \begin{cases} e^{ax} & x \leq 0 \\ 2a + b \sen x & 0 < x \end{cases}sea derivable.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Resolver las siguientes integrales:
a
∫5x+3xx2dx\int \frac{5x + \sqrt{3x}}{x^2} dx1,25 pts
b
∫0π6sen⁡x5−3cos⁡xdx\int_{0}^{\pi} \frac{6 \sen x}{5 - 3 \cos x} dx1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:{x+y+(m+1)z=2x+(m−1)y+2z=12x+my+z=−1\begin{cases} x + y + (m + 1) z = 2 \\ x + (m - 1) y + 2 z = 1 \\ 2 x + m y + z = - 1 \end{cases}
a
Discutirlo según los valores de mm.1,5 pts
b
Resolverlo para m=2m = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados la recta r:{x−2y+z=0−x+2y+z=2r : \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ -x + 2y + z = 2 \end{cases} y el punto P(1,0,1)P(1, 0, 1) exterior a rr:
a
Hallar la ecuación en forma general del plano π\pi que contiene a rr y PP.1,25 pts
b
Hallar la ecuación (como intersección de dos planos) de la recta ss que pasa por PP y es paralela a la recta rr.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Determinar los valores de a,ba, b y cc sabiendo que la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c tiene extremos relativos en x=1x = 1 y x=−3x = -3 y que corta a su función derivada en x=0x = 0. Determinar asimismo la naturaleza de los extremos.1,25 pts
b
Calcular el límite:lim⁡x→2x+2−22x−3−1\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{\sqrt{2x - 3} - 1}1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo. El perímetro del rectángulo es de 100100 metros. Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máxima.
Rombo sombreado inscrito en un rectángulo con sus diagonales marcadas por líneas discontinuas.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcular las matrices AA y BB tales que:5A+3B=(20−415)5A + 3B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 15 \end{pmatrix}3A+2B=(1−1−29)3A + 2B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dada la recta:r:{x−2y+z=0x−z=0r: \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}y los puntos P(1,−2,0)P(1, -2, 0) y Q(0,1,3)Q(0, 1, 3):
a
Hallar la ecuación del plano π\pi que contiene a rr y es paralelo a PQPQ.1,25 pts
b
Hallar la ecuación de la recta ss perpendicular a rr que pasa por QQ e intersecta a rr.1,25 pts
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