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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2023

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar)

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la siguiente funciónf(x)=(eax+b)x−e,a,b∈R,a≠0.f(x) = (e^{ax} + b)x - e, \quad a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0.
a
Calcula los valores de aa y bb, sabiendo que dicha función tiene un extremo relativo en x=0x = 0 y un punto de inflexión en x=2x = 2.1 pt
b
Para los valores a=1a = 1 y b=2b = 2, calcula ∫xf(x)dx\int x f(x) dx1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcula el valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}, para que el siguiente límite sea finito y calcula el valor de dicho límiteL=lim⁡x→0ln⁡(x+1)−asen⁡(x)+3xcos⁡(2x)x2.L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) - a \sen(x) + 3x \cos(2x)}{x^2}.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Descompón el número 3\sqrt{3} en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus respectivos logaritmos en base 3 sea máxima y calcula esta suma de forma exacta.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para la siguiente funciónf(x)=x2x2−2x+1f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1}
a
Indica el dominio de definición y estudia su monotonía.1 pt
b
Estudia la curvatura de la función (concavidad = ∩\cap y convexidad = ∪\cup) y la existencia de puntos de inflexión, y calcúlalos si existen.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la siguiente matriz:A=(1−1m2mm+2m−121).A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ 2 & m & m + 2 \\ m - 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
a
Discute el rango de la matriz AA según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}1 pt
b
Calcula la inversa de la matriz AA para el valor m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Sabiendo que ∣123405abc∣=12\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c \end{vmatrix} = \frac{1}{2}, calcula razonadamente el determinante de la matrizA=((4a+24b+44c+63a3b3ca+4bc+5))2.A = \left( \begin{pmatrix} 4a + 2 & 4b + 4 & 4c + 6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a + 4 & b & c + 5 \end{pmatrix} \right)^2.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Una ONG aragonesa de reciente creación tiene tres sedes, una en Huesca, otra en Zaragoza y otra en Teruel. El número total de voluntarios es de 31. Para que Huesca y Zaragoza tuvieran el mismo número de voluntarios tendrían que trasladarse 3 de Huesca a Zaragoza. Además, el número de los voluntarios de la sede de Huesca excede en 1 a la suma de los voluntarios de las otras dos sedes. ¿Cuántos voluntarios hay en cada una de las tres sedes?
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Si los vectores {u⃗,v⃗,w⃗}\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} son linealmente independientes,
a
Comprueba si los vectores {r⃗,s⃗,t⃗}\{\vec{r}, \vec{s}, \vec{t}\} son linealmente dependientes o independientes, siendor⃗=u⃗−v⃗−2w⃗,s⃗=u⃗+3w⃗,t⃗=2u⃗−v⃗+w⃗.\vec{r} = \vec{u} - \vec{v} - 2\vec{w}, \quad \vec{s} = \vec{u} + 3\vec{w}, \quad \vec{t} = 2\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}.1,2 pts
b
Calcula razonadamente 3s⃗×(t⃗−r⃗)3\vec{s} \times (\vec{t} - \vec{r}) donde ×\times representa el producto vectorial de dos vectores.0,8 pts
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Ejercicio 9

9
2 puntos
De los turistas que llegaron a España el mes pasado, el 35% visitaron Aragón. Si seleccionamos al azar y de manera independiente 7 turistas que llegaron a España el mes pasado.
a
Razona, sin hacer uso de la calculadora: ¿Qué es más probable, que 2 de estos turistas visitaran Aragón, o que sean 5 los que visitaron nuestra Comunidad Autónoma?1 pt
b
Calcula la probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
En el club deportivo Ares, se juegan tres modalidades de raqueta: pádel, tenis y frontón-tenis. Cada socio del club sólo puede apuntarse a una única modalidad. El 60% se apuntó a pádel, el 25% a tenis y el 15% a frontón-tenis. En los campeonatos anuales entre clubes deportivos, participaron todos los socios del club Ares, de los cuales han conseguido medalla el 21% de los jugadores de pádel, el 30% de los jugadores de tenis y el 12% de los jugadores de frontón-tenis.
a
Calcula la probabilidad de que un jugador de raqueta del club, seleccionado al azar, haya obtenido una medalla.1 pt
b
Calcula la probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de la modalidad tenis.1 pt
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