Matemáticas II · Aragón 2023

Dada la siguiente función $$f(x) = (e^{ax} + b)x - e, \quad a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0.$$

Calcula el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$, para que el siguiente límite sea finito y calcula el valor de dicho límite $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1) - a \sen(x) + 3x \cos(2x)}{x^2}.$$

Descompón el número $\sqrt{3}$ en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus respectivos logaritmos en base 3 sea máxima y calcula esta suma de forma exacta.

Para la siguiente función $$f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1}$$

Dada la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ 2 & m & m + 2 \\ m - 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

Sabiendo que $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ a & b & c \end{vmatrix} = \frac{1}{2}$, calcula razonadamente el determinante de la matriz $$A = \left( \begin{pmatrix} 4a + 2 & 4b + 4 & 4c + 6 \\ 3a & 3b & 3c \\ a + 4 & b & c + 5 \end{pmatrix} \right)^2.$$

Una ONG aragonesa de reciente creación tiene tres sedes, una en Huesca, otra en Zaragoza y otra en Teruel. El número total de voluntarios es de 31. Para que Huesca y Zaragoza tuvieran el mismo número de voluntarios tendrían que trasladarse 3 de Huesca a Zaragoza. Además, el número de los voluntarios de la sede de Huesca excede en 1 a la suma de los voluntarios de las otras dos sedes. ¿Cuántos voluntarios hay en cada una de las tres sedes?

Si los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente independientes,

De los turistas que llegaron a España el mes pasado, el 35% visitaron Aragón. Si seleccionamos al azar y de manera independiente 7 turistas que llegaron a España el mes pasado.

En el club deportivo Ares, se juegan tres modalidades de raqueta: pádel, tenis y frontón-tenis. Cada socio del club sólo puede apuntarse a una única modalidad. El 60% se apuntó a pádel, el 25% a tenis y el 15% a frontón-tenis. En los campeonatos anuales entre clubes deportivos, participaron todos los socios del club Ares, de los cuales han conseguido medalla el 21% de los jugadores de pádel, el 30% de los jugadores de tenis y el 12% de los jugadores de frontón-tenis.