Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2013

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Considera el siguiente problema de programación lineal: Maximiza la función z=x+3yz = x + 3y sujeta a las siguientes restricciones:{−x+y≤2x+y≤4x≥0y≥0\begin{cases} -x + y \leq 2 \\ x + y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}
a
Dibuja la región factible.1 pt
b
Determina los vértices de la región factible.0,25 pts
c
Indica la solución óptima del problema dado y su valor.0,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
En un departamento de una empresa internacional trabajan 18 personas de tres nacionalidades: franceses, ingleses y alemanes. El número de empleados franceses es igual al doble del número que resulta al sumar el número de ingleses y alemanes. Y el número de alemanes es el doble del número de ingleses.
a
Plantea el sistema que permita obtener el número de trabajadores de cada nacionalidad.1,5 pts
b
Resuelve el problema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
1,5 puntos
Se considera la función:f(x)={x+tsi x≤2(x−4)2+1si x>2f(x) = \begin{cases} x + t & \text{si } x \leq 2 \\ (x - 4)^2 + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Halla el valor de tt para que ff sea continua en x=2x = 2.0,5 pts
b
Para t=0t = 0, representa gráficamente la función ff.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Se considera la función f(x)=ax3+3x2−12x+5f(x) = ax^3 + 3x^2 - 12x + 5.
a
Calcula el valor del parámetro aa para que la función tenga un mínimo en el punto de abscisa x=1x = 1.0,75 pts
b
Para el valor de aa calculado en el apartado anterior, halla el máximo relativo de la función anterior.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
1,5 puntos
Una empresa sabe que la probabilidad de que un ordenador tenga virus es 0,90{,}9. Dicha empresa tiene tres ordenadores independientes.
a
¿Cuál es la probabilidad de que los tres ordenadores tengan virus?0,5 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tres ordenadores tenga virus?0,5 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los tres ordenadores tenga virus?0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2 puntos
La concentración de ácido úrico en sangre, en mujeres sanas, se distribuye según una normal de media desconocida y desviación típica 1 mg/dl1\,\text{mg/dl}. Se seleccionan al azar 100 mujeres y, mediante un análisis, se observa que la concentración media de ácido úrico en la muestra estudiada es de 3,5 mg/dl3{,}5\,\text{mg/dl}.
a
Halla un intervalo de confianza para la media de la concentración de ácido úrico en las mujeres con un nivel de confianza del 97 %97\,\%.1 pt
b
Explica razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Resuelve las siguientes cuestiones sobre matrices:
a
Despeja la matriz XX en la siguiente ecuación matricial: −7⋅I−5⋅X+A⋅X=B-7 \cdot I - 5 \cdot X + A \cdot X = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (II es la matriz identidad).0,75 pts
b
Si A=(30−3−1)A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}, calcula la matriz XX que cumple X⋅A=IX \cdot A = I, donde II es la matriz identidad de orden 2.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Una floristería elabora, para el día de la madre, tres tipos de centros florales: tipo I, tipo II y tipo III, que llevan margaritas, gerberas y liliums, en las cantidades indicadas en la tabla. Se dispone de 100 margaritas, 125 gerberas y 75 liliums.
Tipo ITipo IITipo III
Margaritas1248
Gerberas10155
Liliums3612
a
Plantea el sistema que permita averiguar cuántos centros florales de cada tipo se podrán elaborar utilizando todas las flores disponibles.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
1,5 puntos
Se considera la función:f(x)={x2+x+1si x<10si x=1(x−2)2+2si x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + x + 1 & \text{si } x < 1 \\ 0 & \text{si } x = 1 \\ (x - 2)^2 + 2 & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Estudia su continuidad en x=1x = 1.0,5 pts
b
Calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (−∞,1)(-\infty, 1).0,5 pts
c
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (−∞,1)(-\infty, 1).0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
1,5 puntos
El ruido, medido en decibelios, producido por la música y los clientes en un local nocturno, se ajusta a la función: R(t)=−4t2+24t+54R(t) = -4t^2 + 24t + 54, siendo tt el tiempo medido en horas, 0≤t≤60 \leq t \leq 6.
a
En la primera hora (t=1t = 1), ¿cuántos decibelios se registraron?0,25 pts
b
¿En qué momento se produce mayor ruido y a cuántos decibelios asciende?1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
1,5 puntos
En un temario para la oposición a una plaza, hay 25 temas de los cuáles 5 son de legislación y el resto del contenido propio de la plaza. Cada opositor elige al azar dos temas. Obviamente el mismo tema no puede salir dos veces.
a
¿Cuál es la probabilidad de que de los dos temas elegidos ninguno sea de legislación?0,75 pts
b
Si un opositor ha estudiado 10 temas de los 25, ¿cuál es la probabilidad de que de los dos temas escogidos al menos uno sea de los que ha estudiado?0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2 puntos
En un centro de investigación, se está estudiando el tiempo de eliminación de una toxina en la sangre mediante un fármaco. Se sabe que el tiempo de eliminación de esta toxina sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 6 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 pacientes y se concluye que el tiempo que tardan en eliminar dicha toxina es: 39, 41, 42, 44, 48, 50, 53, 54, 59 y 60 horas respectivamente.
a
Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de eliminación de dicha toxina con un nivel de confianza del 97 %97\,\%.1,25 pts
b
¿Cuál debería ser como mínimo el tamaño de la muestra, para que el error máximo admisible de estimación de la media sea inferior a 2 horas, con un nivel de confianza del 97 %97\,\%?0,75 pts
Ver este ejercicio