Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. TIEMPO Y CALIFICACIÓN: 90 minutos. Cada ejercicio se calificará sobre 2,5 puntos. El estudiante deberá indicar la agrupación de preguntas que responderá. La selección de preguntas deberá realizarse conforme a las instrucciones planteadas, no siendo válido seleccionar preguntas que sumen más de 10 puntos, ni agrupaciones de preguntas que no coincidan con las indicadas, lo que puede conllevar la anulación de alguna pregunta que se salga de las instrucciones.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Dado el sistema {x+y=a(2−a)x+2y=1ax=aa∈R \begin{cases} x + y = a \\ (2 - a)x + 2y = 1 \\ ax = a \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R}
a
Estudia su compatibilidad según los valores de aa.1,5 pts
b
Resuélvelo cuando sea posible.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Dada la matriz A=(x+1x+1x−2xx2−xxx−1x)x∈RA = \begin{pmatrix} x + 1 & x + 1 & x - 2 \\ x & x & 2 - x \\ x & x - 1 & x \end{pmatrix} \quad\allowbreak x \in \mathbb{R}
a
Calcula su determinante aplicando sus propiedades y estudia cuándo es invertible la matriz.1,5 pts
b
Para x=1x = 1, calcula su inversa.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Dada la función f(x)=2x3+1x2f(x) = \frac{2x^3 + 1}{x^2}
a
Estudia y calcula su dominio de definición y sus asíntotas.1,25 pts
b
Halla, si existen: máximos y mínimos relativos y calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.0,75 pts
c
Haz un esbozo de su gráfica.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
Calcula:
a
lim⁡x→0sen⁡(x)−xexx2−2cos⁡(x)+2 \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x) - x e^x}{x^2 - 2 \cos(x) + 2} 1,25 pts
b
Una primitiva de la función f(x)=xcos⁡(x)−e−xf(x) = x \cos(x) - e^{-x} cuya gráfica pase por el punto (0,3)(0, 3).1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Sean A(2,1,0)A(2, 1, 0), B(5,5,0)B(5, 5, 0) y C(2,1,5)C(2, 1, 5) tres vértices de la cara SS de un cubo (cuadrados iguales) y E(−2,4,0)E(-2, 4, 0) un vértice de la cara opuesta. Se pide:
Esquema de un cubo con una cara sombreada etiquetada como S y un vértice opuesto etiquetado como E.
a
El cuarto vértice DD de la cara SS.1 pt
b
La ecuación del plano π\pi que contiene la cara opuesta de SS.1 pt
c
¿Cuál es el vértice de la cara SS adyacente a EE?0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Dados dos planos {π:x+y−2z=3π′:x−z=5 \begin{cases} \pi: x + y - 2z = 3 \\ \pi': x - z = 5 \end{cases} Sea PP un punto de π\pi cuya proyección ortogonal sobre π′\pi' es el punto A(5,1,0)A(5, 1, 0).
a
Calcula las ecuaciones implícitas de la recta rr que une PP y AA.1,5 pts
b
Calcula el punto PP.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
En un curso de un instituto hay tres clases: la clase A con 50 alumnos, la clase B con 30 y la clase C con 20. Cada clase tiene un profesor distinto de matemáticas. Con el profesor de la clase A aprueban el 40%40\% de los alumnos, con el de la clase B el 50%50\% y con el de la clase C el 75%75\% de los alumnos. Se coge al azar un alumno del curso. Calcula:
a
La probabilidad de que el alumno haya aprobado matemáticas.1,25 pts
b
Sabiendo que ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea de la clase B.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
En una pumarada la producción en kilogramos de cada manzano sigue una distribución normal de media μ=50\mu = 50 y desviación típica σ=10\sigma = 10. Calcula:
Datos
  • Distribución normal de media 0 y desviación típica 1: F(x)=P(Z≤x)F(x) = P(Z \leq x)
  • F(2)=0,9772F(2) = 0{,}9772
  • F(1)=0,8413F(1) = 0{,}8413
  • F(1,5)=0,9332F(1{,}5) = 0{,}9332
  • F(0,5)=0,6915F(0{,}5) = 0{,}6915
  • F(0,2533)=0,6F(0{,}2533) = 0{,}6
  • F(0,5244)=0,7F(0{,}5244) = 0{,}7
  • F(0,8416)=0,8F(0{,}8416) = 0{,}8
a
La proporción de árboles que dan entre 30 y 60 kilogramos.1,25 pts
b
El número de kilogramos por árbol a los que no llegan o igualan el 60%60\% de los árboles.1,25 pts
Ver este ejercicio