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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2020

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Dado el sistema {x+y=a(2−a)x+2y=1ax=aa∈R \begin{cases} x + y = a \\ (2 - a)x + 2y = 1 \\ ax = a \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R}
a)1,5 pts
Estudia su compatibilidad según los valores de aa.
b)1 pts
Resuélvelo cuando sea posible.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Dada la matriz A=(x+1x+1x−2xx2−xxx−1x)x∈RA = \begin{pmatrix} x + 1 & x + 1 & x - 2 \\ x & x & 2 - x \\ x & x - 1 & x \end{pmatrix} \quad x \in \mathbb{R}
a)1,5 pts
Calcula su determinante aplicando sus propiedades y estudia cuándo es invertible la matriz.
b)1 pts
Para x=1x = 1, calcula su inversa.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Dada la función f(x)=2x3+1x2f(x) = \frac{2x^3 + 1}{x^2}
a)1,25 pts
Estudia y calcula su dominio de definición y sus asíntotas.
b)0,75 pts
Halla, si existen: máximos y mínimos relativos y calcula sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)0,5 pts
Haz un esbozo de su gráfica.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
Calcula:
a)1,25 pts
lim⁡x→0sen⁡(x)−xexx2−2cos⁡(x)+2 \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x) - x e^x}{x^2 - 2 \cos(x) + 2}
b)1,25 pts
Una primitiva de la función f(x)=xcos⁡(x)−e−xf(x) = x \cos(x) - e^{-x} cuya gráfica pase por el punto (0,3)(0, 3).
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Sean A(2,1,0)A(2, 1, 0), B(5,5,0)B(5, 5, 0) y C(2,1,5)C(2, 1, 5) tres vértices de la cara SS de un cubo (cuadrados iguales) y E(−2,4,0)E(-2, 4, 0) un vértice de la cara opuesta. Se pide:
Esquema de un cubo con una cara sombreada etiquetada como S y un vértice opuesto etiquetado como E.
Esquema de un cubo con una cara sombreada etiquetada como S y un vértice opuesto etiquetado como E.
a)1 pts
El cuarto vértice DD de la cara SS.
b)1 pts
La ecuación del plano π\pi que contiene la cara opuesta de SS.
c)0,5 pts
¿Cuál es el vértice de la cara SS adyacente a EE?
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Dados dos planos {π:x+y−2z=3π′:x−z=5 \begin{cases} \pi: x + y - 2z = 3 \\ \pi': x - z = 5 \end{cases} Sea PP un punto de π\pi cuya proyección ortogonal sobre π′\pi' es el punto A(5,1,0)A(5, 1, 0).
a)1,5 pts
Calcula las ecuaciones implícitas de la recta rr que une PP y AA.
b)1 pts
Calcula el punto PP.
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
En un curso de un instituto hay tres clases: la clase A con 50 alumnos, la clase B con 30 y la clase C con 20. Cada clase tiene un profesor distinto de matemáticas. Con el profesor de la clase A aprueban el 40%40\% de los alumnos, con el de la clase B el 50%50\% y con el de la clase C el 75%75\% de los alumnos. Se coge al azar un alumno del curso. Calcula:
a)1,25 pts
La probabilidad de que el alumno haya aprobado matemáticas.
b)1,25 pts
Sabiendo que ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea de la clase B.
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
En una pumarada la producción en kilogramos de cada manzano sigue una distribución normal de media μ=50\mu = 50 y desviación típica σ=10\sigma = 10. Calcula:
a)1,25 pts
La proporción de árboles que dan entre 30 y 60 kilogramos.
b)1,25 pts
El número de kilogramos por árbol a los que no llegan o igualan el 60%60\% de los árboles.
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