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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2020

10 ejercicios

Instrucciones

En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Cada pregunta vale 2 puntos en total y puede contener distintos apartados, cuyas puntuaciones se indican. El estudiante debe indicar claramente, cuáles han sido las preguntas elegidas. Preguntas elegidas (indique un máximo de 5, antes de entregar el examen): (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar).

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:{x+y+(m+1)z=2x+(m−1)y+2z=12x+my+z=−1\begin{cases} x + y + (m + 1) z = 2 \\ x + (m - 1) y + 2 z = 1 \\ 2 x + m y + z = - 1 \end{cases}Discuta el sistema según los valores de m∈Rm \in \mathbb{R}.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dadas las matrices A=(103−101)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ - 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B=(021101)B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} y C=(−11−10)C = \begin{pmatrix} - 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}.
a
Calcule, si es posible, (A⋅Bt)−1(A \cdot B^t)^{-1}.1 pt
b
Compruebe que, C3=IC^3 = I, donde II es la matriz identidad, y calcule C16C^{16}.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Resuelva el sistema matricial{X−2Y=(0330−20)2X+3Y=(76−11437)\begin{cases} X - 2 Y = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 0 & - 2 & 0 \end{pmatrix} \\ 2 X + 3 Y = \begin{pmatrix} 7 & 6 & - 1 \\ 14 & 3 & 7 \end{pmatrix} \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Se considera la rectar≡{x+z=12x+y=3r \equiv \begin{cases} x + z = 1 \\ 2 x + y = 3 \end{cases}
a
Calcule la ecuación del plano que contiene a la recta rr y que pasa por el punto (0,0,1)(0,0,1).1,25 pts
b
Se considera el paralelepípedo definido por los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}. Sabiendo que u⃗×v⃗=(−1,1,1)\vec{u} \times \vec{v} = (- 1, 1, 1), calcule el volumen de dicho paralelepípedo.0,75 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Calcule el siguiente límite:lim⁡x→0+((1+x−sen⁡x)1x3)\lim_{x \to 0^{+}} ((1 + x - \sen x)^{\frac{1}{x^3}}),
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Se considera la siguiente función: f(x)=x21−e−xf(x) = \frac{x^2}{1 - e^{-x}}. Estudie la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y calcúlelas cuando existan.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Se considera la siguiente función f(x)=ln⁡(2x+1)f(x) = \ln(2x + 1)
a
Estudie su dominio, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.1,25 pts
b
Halle la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) en el punto de abscisa x=12x = \frac{1}{2}.0,75 pts
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Calcule la siguiente integral: ∫(x⋅ln⁡2x) dx\int (\sqrt{x} \cdot \ln^2 x) \, dx
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Según estadísticas del Instituto Nacional de Estadística, la probabilidad de que un varón esté en paro es del 12%, mientras que la de que una mujer lo esté es del 16%. Además, la probabilidad de ser varón es del 64% y la de ser mujer del 36%.
Datos
  • Las estadísticas anteriores (y los experimentos) están realizados con personas en disposición de trabajar
a
Hemos conectado por redes sociales con una persona ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y esté en paro?0,75 pts
b
Si se elige una persona al azar ¿cuál es la probabilidad de que esté en paro?0,75 pts
c
Hemos conectado por redes sociales con una persona que nos ha confesado estar en paro ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?0,5 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
De los estudiantes universitarios españoles, uno de cada 5 abandona sus estudios. Se seleccionan 5 estudiantes universitarios españoles al azar, de modo independiente.
a
¿Cuál es la probabilidad de que uno o ninguno de dichos estudiantes abandonen sus estudios? (No es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando y desarrollando los números y operaciones básicas que la definen, pero sin hacer los cálculos finales).1 pt
b
¿Qué es más probable, que todos abandonen sus estudios, o que ninguno lo haga? Razone la respuesta de modo numérico.1 pt
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