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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAsturiasPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Asturias 2018

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen presenta dos opciones: A y B. Elegir una de ellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Sean las matrices A=(−1m−m−13m)A = \begin{pmatrix} -1 & m \\ -m-1 & 3m \end{pmatrix}, B=(xy)B = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} y C=(412)C = \begin{pmatrix} 4 \\ 12 \end{pmatrix}.
a
Si A⋅B=CA \cdot B = C, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por xx e yy) en función del parámetro mm.1 pt
b
¿Para qué valores de mm el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m=1m = 1.2 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
La cotización de las acciones (en euros) de una determinada sociedad suponiendo que la bolsa funcionó de continuo todos los días de un mes de 30 días, respondió a la siguiente ley:f(x)=x3−45x2+243x+30000100, con 0≤x≤30,f(x) = \frac{x^3 - 45x^2 + 243x + 30000}{100}, \text{ con } 0 \leq x \leq 30,donde xx representa el tiempo (en días).
a
Determina el período de tiempo en el que la cotización descendió. ¿En qué momento la cotización fue máxima? ¿A cuánto ascendió dicha cotización? ¿En qué momento la cotización fue mínima?1,5 pts
b
Estudia y representa gráficamente la función ff en el intervalo [0,30][0, 30].1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En un determinado banco, el 90% de los clientes tienen fondos. De ellos, el 40% tiene talonario de cheques. En cambio, entre los clientes sin fondos, el porcentaje de ellos que tienen talonario de cheques pasa a ser del 100%. Si se elige un cliente al azar:
a
¿Cuál es la probabilidad de que tenga fondos y talonario de cheques?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que tenga talonario de cheques?1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para estimar la altura media de los hombres de un país, se considera una muestra aleatoria de 1600 hombres para la que se obtiene que la estatura media es de 180,3180{,}3 cm. Se supone además que la estatura sigue aproximadamente una distribución normal con desviación típica 4 cm.
Datos
  • F(1,28)=0,90F(1{,}28) = 0{,}90
  • F(1,64)=0,95F(1{,}64) = 0{,}95
  • F(1,96)=0,975F(1{,}96) = 0{,}975
  • F(2,33)=0,99F(2{,}33) = 0{,}99
  • F(2,58)=0,995F(2{,}58) = 0{,}995
a
Construye un intervalo de confianza para la altura media de los hombres de ese país, al 95% de confianza.1 pt
b
¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la verdadera altura media de los hombres a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 1 cm y un nivel de confianza del 95%?1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Una empresa fabrica dos tipos de lápices. En la producción diaria se sabe que: el número de lápices de tipo B producidos supera como mucho en 500 unidades a los de tipo A; entre los dos tipos no superan las 2000 unidades y de tipo B se producen al menos 500 unidades.
a
¿Cuántos lápices de cada tipo puede producir al día? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría producir 1000 lápices de tipo A y 600 de tipo B?2 pts
b
El coste de fabricación de cada lápiz de tipo A es de 0,250{,}25 euros y el de cada lápiz de tipo B es de 0,20{,}2 euros. ¿Cuántos lápices de cada tipo debe producir para minimizar el coste total de fabricación? ¿A cuánto asciende dicho coste mínimo?1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la función f(x)=4x3−36xf(x) = 4x^3 - 36x, se pide:
a
Encontrar la primitiva FF de ff verificando que F(1)=0F(1) = 0.0,75 pts
b
Estudiar y representar gráficamente la función ff y calcular el área limitada por la curva y el eje XX entre x=−1x = -1 y x=1x = 1.2,25 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En una clase formada por 10 chicos y 10 chicas, el 40% de los chicos tienen francés como asignatura optativa. Además se sabe que el 5% de la clase son chicas que tienen francés como asignatura optativa.
a
¿Qué porcentaje de la clase tiene francés como asignatura optativa?1 pt
b
Dentro del grupo de estudiantes que tiene francés como asignatura optativa, ¿qué porcentaje son chicas?1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para estimar la proporción de personas adultas que tienen determinada enfermedad en un país se considera una muestra aleatoria de 1000 adultos de dicho país, de los cuales 100 personas padecen dicha enfermedad.
Datos
  • F(1,28)=0,90F(1{,}28) = 0{,}90
  • F(1,64)=0,95F(1{,}64) = 0{,}95
  • F(1,96)=0,975F(1{,}96) = 0{,}975
  • F(2,33)=0,99F(2{,}33) = 0{,}99
  • F(2,58)=0,995F(2{,}58) = 0{,}995
a
Halla, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción de personas que padecen dicha enfermedad en ese país.1 pt
b
En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría al error de estimación si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese aumentado el tamaño muestral?1 pt
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