Matemáticas II · Navarra 2019

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a + 2) x - y - a z = - a \\ (- a - 2) x + 2 y + (a^2 - a) z = 3 a - 1 \\ (a + 2) x - 2 y + (2 - 2 a) z = - 2 a \end{cases}$$

Resuelve la ecuación matricial $X \cdot A^{35} = A^{25}$ teniendo en cuenta que $A$ es la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Dadas las siguientes rectas: $$r \equiv \begin{cases} 2 x + y - 2 z - 1 = 0 \\ y + z + 1 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{2}$$ calcula la ecuación de un plano $\pi$ paralelo a la recta $r$ y que diste de $s$ $3$ unidades.

$P \equiv (1, -1, 1)$, $Q \equiv (5, -3, 5)$ y $R \equiv (7, -7, 1)$ son tres vértices de una cara de un cubo. Calcula las coordenadas del centro de dicho cubo.

Calcula la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado:

Demuestra que existe $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f(\alpha) = 0$, siendo $$f(x) = \frac{\ln \left[ x - 1 + \sen^2 \left(\frac{\pi x}{4}\right) \right]}{4x - x^2}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Demuestra que existe $\alpha \in (-1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = -\frac{1}{4}$, siendo $$f(x) = \left[ x^2 + \log(x^2 - 2x + 7) \right]^{\sqrt[3]{\frac{3 - x}{4}}}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones $f(x) = 5 - x$ y $g(x) = \frac{2}{x - 2}$ y calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.