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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Realiza una de las dos opciones, A o B. La duración de la prueba es de 90 minutos. Se calificará de 0 a 10 puntos, redondeando a cuartos de punto. Se debe responder exclusivamente a las preguntas de una de las dos opciones (A o B). Si alguien responde a cuestiones de las dos opciones, la nota final será la peor de las dos puntuaciones obtenidas. Se tendrá en cuenta el planteamiento seguido para la resolución del problema y la claridad en la exposición. Si es pertinente, se valorará la referencia a los resultados teóricos usados. Para la penalización de los errores en los cálculos, se tendrá en cuenta: • si son consecuencia de no haber seguido el procedimiento más adecuado • si reflejan fallos de concepto. si producen simplificaciones relevantes. si ocurren con reiteración.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{(a+2)x−y−az=−a(−a−2)x+2y+(a2−a)z=3a−1(a+2)x−2y+(2−2a)z=−2a\begin{cases} (a + 2) x - y - a z = - a \\ (- a - 2) x + 2 y + (a^2 - a) z = 3 a - 1 \\ (a + 2) x - 2 y + (2 - 2 a) z = - 2 a \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dadas las siguientes rectas:r≡{2x+y−2z−1=0y+z+1=0ys≡x+21=y−12=z−12r \equiv \begin{cases} 2 x + y - 2 z - 1 = 0 \\ y + z + 1 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{2}calcula la ecuación de un plano π\pi paralelo a la recta rr y que diste de ss 33 unidades.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula la derivada de las siguientes funciones y simplifica el resultado:
a
f(x)=ln⁡1−cos⁡2xsen⁡2xf(x) = \ln \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{\sen 2x}}1 pt
b
g(x)=(1x)−xg(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{-x}1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Demuestra que existe α∈(−1,3)\alpha \in (-1, 3) tal que f′(α)=−14f'(\alpha) = -\frac{1}{4}, siendof(x)=[x2+log⁡(x2−2x+7)]3−x43f(x) = \left[ x^2 + \log(x^2 - 2x + 7) \right]^{\sqrt[3]{\frac{3 - x}{4}}}Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Resuelve la ecuación matricial X⋅A35=A25X \cdot A^{35} = A^{25} teniendo en cuenta que AA es la siguiente matriz:A=(−1−110)A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
P≡(1,−1,1)P \equiv (1, -1, 1), Q≡(5,−3,5)Q \equiv (5, -3, 5) y R≡(7,−7,1)R \equiv (7, -7, 1) son tres vértices de una cara de un cubo. Calcula las coordenadas del centro de dicho cubo.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Demuestra que existe α∈(1,3)\alpha \in (1, 3) tal que f(α)=0f(\alpha) = 0, siendof(x)=ln⁡[x−1+sen⁡2(πx4)]4x−x2f(x) = \frac{\ln \left[ x - 1 + \sen^2 \left(\frac{\pi x}{4}\right) \right]}{4x - x^2}Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones f(x)=5−xf(x) = 5 - x y g(x)=2x−2g(x) = \frac{2}{x - 2} y calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
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