Matemáticas CCSS · Castilla y León 2012

Una fábrica produce tres tipos de herramientas: A, B y C. En la fábrica trabajan tres obreros, durante 8 horas diarias cada uno, y un revisor para comprobar las herramientas durante 1 hora diaria. Para fabricar una herramienta de tipo A se emplean 2 horas de mano de obra y se necesitan 6 minutos de revisión, para la fabricación de una de tipo B se emplean 4 horas de mano de obra y 4 minutos de revisión y para una de tipo C se necesitan 1 hora de mano de obra y 4 minutos de revisión. Por limitaciones en la producción, se deben producir exactamente 12 herramientas al día. Calcula el número de herramientas de cada tipo que se elaboran cada día en la fábrica.

Un ahorrador dispone de $4000$ € para invertir en dos tipos de fondos de inversión a cierto plazo. En el fondo A cada participación tiene un coste de $40$ € y produce un beneficio de $15$ €, mientras que en el fondo B cada participación da un beneficio de $5$ € y su coste es de $50$ €. Sabiendo que se puede adquirir un máximo de $60$ participaciones del fondo A y al menos $40$ del fondo B, utiliza técnicas de programación lineal para determinar cuántas participaciones de cada fondo se deben comprar para maximizar el beneficio y calcula ese beneficio.

Se considera la función: $f(x) = -x^3 + bx^2 + x + d$

Un agricultor dispone de $3000$ € para cercar un terreno rectangular, usando el río adyacente como lado con el fin de que el recinto sólo necesite 3 cercas. El coste de la cerca paralela al río es de $5$ € por metro instalado, y el de la cerca para cada uno de los lados restantes es de $3$ € por metro instalado. Calcula las dimensiones del terreno de área máxima que puede cercar con el presupuesto que tiene.

Un moderno edificio tiene dos ascensores para uso de los vecinos. El primero de los ascensores es usado el $45\%$ de las ocasiones, mientras que el segundo es usado el resto de las ocasiones. El uso continuado de los ascensores provoca un $5\%$ de fallos en el primero de los ascensores y un $8\%$ en el segundo. Un día suena la alarma de uno de los ascensores porque ha fallado. Calcula la probabilidad de que haya sido el primero de los ascensores.

En un determinado municipio, los ingresos mensuales de sus habitantes siguen una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $200$ €. Se seleccionó al azar una muestra de $100$ personas cuya media de ingresos mensuales resultó de $1060$ €.

Calcula $P(\overline{A}/B)$ sabiendo que $P(A) = \frac{1}{3}$, $P(B) = \frac{1}{4}$ y $P(A \cap B) = \frac{1}{5}$.

La probabilidad de romper una galleta al ser envasada es el $1\%$. Si en un envase hay $10$ galletas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una galleta esté rota debido a la operación de envasado?