Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2016

En una granja hay vacas y caballos. El veterinario contratado tiene la obligación de supervisar diariamente entre 4 y 8 vacas, y además entre 2 y 5 caballos. Además, el número de vacas supervisadas debe ser al menos el doble que el número de caballos supervisados. El veterinario tarda una hora en supervisar cada animal y trata de averiguar cuál es el tiempo mínimo diario que le permite cumplir todas las condiciones del contrato.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ k & -6 \end{pmatrix}$. Determina el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que ambas matrices conmuten; es decir: $A \cdot B = B \cdot A$.

He comprado 5 kg de almendras, 3 kg de avellanas y 2 kg de cacahuetes, y he pagado por todo ello 98 euros. La diferencia entre el precio por kg de las avellanas y de los cacahuetes, es igual al precio por kg de las almendras. Si hubiera comprado 1 kg de cada fruto seco, hubieras pagado 32 euros.

Hemos gastado 7000 euros en comprar 85 acciones de la empresa A, 100 acciones de la empresa B y 70 acciones de la empresa C. El valor de una acción de la empresa C es el doble que el de una acción de la empresa A. El valor de una acción de la empresa B supera en 5 euros al de una acción de la empresa A.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} -(x+3)^2 & \text{si } x < -3 \\ t & \text{si } -3 \leq x \leq 3 \\ -(x-3)^2 & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} (x-t)^2 & \text{si } x \leq 0 \\ (x+t)^3 - x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

De la función $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ sabemos que pasa por el punto $(0,0)$, que tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa 3 y que la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto vale $-18$. Con estos datos halla el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

A las 0 horas de un día lanzamos a la atmósfera un pequeño globo de helio que mediante un transmisor nos va dando información, entre otras cosas, de la altura a la que se encuentra. El globo asciende durante algunas horas y después desciende hasta caer de nuevo a tierra. La altura a la que se encuentra el globo se ajusta a la función: $f(x) = 64x^2 - \frac{1}{2}x^4$ donde $f(x)$ está en metros y $x$ en horas, con $x \geq 0$ y $f(x) \geq 0$.

De un total de 80 alumnos de un instituto que se han presentado a la PAEG, 6 no han aprobado la PAEG.

En una liga de fútbol se sabe que el $5\,\%$ de los futbolistas son asiáticos, el $25\,\%$ son africanos y el resto son europeos. También se sabe que el $10\,\%$ de los futbolistas asiáticos, el $20\,\%$ de los futbolistas africanos y el $25\,\%$ de los futbolistas europeos hablan castellano.

El gasto en electricidad por hogar y año sigue una distribución normal con media desconocida. Se elige una muestra aleatoria de 10 hogares y se observa que el gasto para los hogares de esta muestra (en euros) es: 828, 687, 652, 650, 572, 769, 860, 681, 589 y 755.

El consumo medio de agua por habitante y día en España sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 30$ litros. Tomando una muestra aleatoria de habitantes, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional $(130{,}4, 169{,}6)$ con un nivel de confianza del $95\,\%$.