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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2016

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
1,5 puntos
En una granja hay vacas y caballos. El veterinario contratado tiene la obligación de supervisar diariamente entre 4 y 8 vacas, y además entre 2 y 5 caballos. Además, el número de vacas supervisadas debe ser al menos el doble que el número de caballos supervisados. El veterinario tarda una hora en supervisar cada animal y trata de averiguar cuál es el tiempo mínimo diario que le permite cumplir todas las condiciones del contrato.
a
Expresa la función objetivo.0,25 pts
b
Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.0,5 pts
c
Halla el número de vacas y caballos que debe supervisar diariamente para cumplir las condiciones en un tiempo mínimo.0,75 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1,5 puntos
Sean las matrices A=(3−112)A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} y B=(−4−2k−6)B = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ k & -6 \end{pmatrix}. Determina el valor que debe tomar el parámetro kk para que ambas matrices conmuten; es decir: A⋅B=B⋅AA \cdot B = B \cdot A.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
He comprado 5 kg de almendras, 3 kg de avellanas y 2 kg de cacahuetes, y he pagado por todo ello 98 euros. La diferencia entre el precio por kg de las avellanas y de los cacahuetes, es igual al precio por kg de las almendras. Si hubiera comprado 1 kg de cada fruto seco, hubieras pagado 32 euros.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el precio por kg de cada fruto seco.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Hemos gastado 7000 euros en comprar 85 acciones de la empresa A, 100 acciones de la empresa B y 70 acciones de la empresa C. El valor de una acción de la empresa C es el doble que el de una acción de la empresa A. El valor de una acción de la empresa B supera en 5 euros al de una acción de la empresa A.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuál es el valor de una acción de cada una de las empresas mencionadas.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={−(x+3)2si x<−3tsi −3≤x≤3−(x−3)2si x>3f(x) = \begin{cases} -(x+3)^2 & \text{si } x < -3 \\ t & \text{si } -3 \leq x \leq 3 \\ -(x-3)^2 & \text{si } x > 3 \end{cases}
a
Halla el valor de tt para que ff sea continua en x=3x = 3.0,5 pts
b
Para t=2t = 2, representa gráficamente la función ff.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={(x−t)2si x≤0(x+t)3−xsi x>0f(x) = \begin{cases} (x-t)^2 & \text{si } x \leq 0 \\ (x+t)^3 - x & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
¿Para qué valor de tt la función f(x)f(x) es continua en x=0x = 0?0,5 pts
b
Para t=0t = 0, calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (0,+∞)(0, +\infty).0,5 pts
c
Para t=0t = 0, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (0,+∞)(0, +\infty).0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1,5 puntos
De la función f(x)=ax4+bx2+cf(x) = ax^4 + bx^2 + c sabemos que pasa por el punto (0,0)(0,0), que tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa 3 y que la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto vale −18-18. Con estos datos halla el valor de los parámetros aa, bb y cc.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1,5 puntos
A las 0 horas de un día lanzamos a la atmósfera un pequeño globo de helio que mediante un transmisor nos va dando información, entre otras cosas, de la altura a la que se encuentra. El globo asciende durante algunas horas y después desciende hasta caer de nuevo a tierra. La altura a la que se encuentra el globo se ajusta a la función: f(x)=64x2−12x4f(x) = 64x^2 - \frac{1}{2}x^4 donde f(x)f(x) está en metros y xx en horas, con x≥0x \geq 0 y f(x)≥0f(x) \geq 0.
a
Determina cuándo vuelve el globo a caer a tierra, así como en qué intervalo de tiempo el globo está ascendiendo y en qué intervalo está descendiendo.0,75 pts
b
Determina cuál es la altura máxima que alcanza el globo y cuándo se produce esa altura máxima.0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1,5 puntos
De un total de 80 alumnos de un instituto que se han presentado a la PAEG, 6 no han aprobado la PAEG.
a
Calcula la probabilidad de que un alumno de ese instituto elegido al azar haya aprobado la PAEG.0,25 pts
b
Calcula la probabilidad de que si seleccionamos tres alumnos distintos al azar de este instituto, ninguno resulte suspenso.0,5 pts
c
Si elegimos cuatro alumnos distintos al azar y el primero y el segundo han suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero y el cuarto sean suspensos?0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1,5 puntos
En una liga de fútbol se sabe que el 5 %5\,\% de los futbolistas son asiáticos, el 25 %25\,\% son africanos y el resto son europeos. También se sabe que el 10 %10\,\% de los futbolistas asiáticos, el 20 %20\,\% de los futbolistas africanos y el 25 %25\,\% de los futbolistas europeos hablan castellano.
a
Calcule la probabilidad de que un futbolista, elegido al azar, hable castellano.0,75 pts
b
Si nos encontramos con un futbolista que no habla castellano, ¿cuál es la probabilidad de que sea europeo?0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
El gasto en electricidad por hogar y año sigue una distribución normal con media desconocida. Se elige una muestra aleatoria de 10 hogares y se observa que el gasto para los hogares de esta muestra (en euros) es: 828, 687, 652, 650, 572, 769, 860, 681, 589 y 755.
Datos
  • σ=100 euros\sigma = 100\,\text{euros}
a
Determina el intervalo de confianza para la media poblacional del gasto en electricidad por hogar y año, con un nivel de confianza del 97 %97\,\%.1 pt
b
¿Aceptarías con un nivel de confianza del 97 %97\,\% que la media poblacional es μ=800\mu = 800 euros? ¿Y con un nivel de significación igual a 0,090{,}09? Razona tus respuestas.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
El consumo medio de agua por habitante y día en España sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=30\sigma = 30 litros. Tomando una muestra aleatoria de habitantes, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional (130,4,169,6)(130{,}4, 169{,}6) con un nivel de confianza del 95 %95\,\%.
a
Calcula el tamaño de la muestra utilizada y calcula el valor que se obtuvo para la media muestral.1,25 pts
b
¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 92,98 %92{,}98\,\%?0,75 pts
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