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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas. Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Se consideran las rectas:r≡{x=1+λy=2z=3−λs≡{x+2y−z=−1x+y=−2r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 \\ z = 3 - \lambda \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ x + y = -2 \end{cases}Determinar la ecuación de la recta tt que pasa por el punto P(0,1,−2)P(0, 1, -2) y corta a las rectas rr y ss.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
El sistema AX=BAX = B, dondeA=(101020a5a),X=(xyz),A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ a & 5 & a \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},tiene diferentes soluciones según sea la matriz BB.
a
Determinar, si existen, el valor o valores de aa para los que el sistema es compatible determinado (independientemente del valor de BB).1 pt
b
Si a=4a = 4 y B=(0−1b)B = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ b \end{pmatrix}, determinar, si existen, el valor o valores de bb para los que el sistema es incompatible.0,5 pts
c
Si a=4a = 4 y B=(0c10)B = \begin{pmatrix} 0 \\ c \\ 10 \end{pmatrix} determinar, si existen, el valor o valores de cc para los que el sistema es compatible indeterminado. Resolver el sistema.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Obtener el valor de aa para que:lim⁡x→∞(x2−3x2+3)ax2=4\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 3}{x^2 + 3} \right)^{ax^2} = 4
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Hallar:
a
∫1416(x−15)8dx\int_{14}^{16} (x - 15)^8 dx0,5 pts
b
∫911(x−10)19(x−9)dx\int_{9}^{11} (x - 10)^{19} (x - 9) dx1,5 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dado el sistema de ecuaciones:{x+y+kz=kx+ky+z=k2kx+y+z=1\begin{cases} x + y + kz = k \\ x + ky + z = k^2 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}se pide:
a
Discutirlo según los valores del parámetro kk.2 pts
b
Resolverlo para k=0k = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la función:f(x)=3x2+5x−20x+5f(x) = \frac{3x^2 + 5x - 20}{x + 5}se pide:
a
Estudiar y obtener las asíntotas.1,5 pts
b
Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad.1 pt
c
Representar gráficamente la función.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dadas las rectas:r≡{2x+y−z=−2x−2y=−1s≡x+11=y−3=z−12r \equiv \begin{cases} 2x + y - z = -2 \\ x - 2y = -1 \end{cases} \qquad s \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{-3} = \frac{z - 1}{2}se pide:
a
Dados los puntos A(1,0,−1)A(1, 0, -1) y B(a,3,−3)B(a, 3, -3), determinar el valor de aa para que la recta tt que pasa por los puntos AA y BB, sea paralela a la recta ss.1 pt
b
Hallar la ecuación del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planosπ1≡5x−y−7z=1yπ2≡2x+3y+z=5\pi_1 \equiv 5x - y - 7z = 1 \quad \text{y} \quad \pi_2 \equiv 2x + 3y + z = 5
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