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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2026

5 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a las cinco preguntas. Las preguntas 1, 2 y 3 son obligatorias; en la 4 y la 5, elige una de las dos opciones.
Puntuación
Cada pregunta vale un máximo de 2 puntos.
Material
Solo se pueden usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se permiten calculadoras gráficas ni programables.
Además
Si respondes a las dos opciones de una pregunta, solo se corrige la primera opción contestada.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Darío y Cayetana están organizando un pequeño negocio y deciden invertir dinero en tres cosas: xx miles de euros en publicidad, yy miles de euros en materiales, zz miles de euros en logística. El reparto depende de un parámetro positivo, kk, que representa una estrategia de ajuste económico según la situación del mercado. Se sabe que la suma de todo lo invertido es en total 12 mil euros. Darío propone que la inversión en publicidad más el doble de la inversión en materiales sea igual a la inversión en logística más kk. Cayetana quiere que el doble de la inversión en publicidad menos la inversión en materiales más la inversión en logística sea igual a 4 mil euros.
a
Plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que refleje los datos del problema.0,75 pts
b
Discuta el correspondiente sistema. En caso de existir solución única, encuéntrela y exprésela en función de kk si es necesario.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considere un punto PP de coordenadas (a,b)(a, b) que está en el primer cuadrante, sobre una circunferencia de radio 10 centrada en el origen O(0,0)O(0, 0). Sea xx el ángulo que forma el radio OPOP con el eje horizontal (o eje XX), medido en radianes.
a
Demuestre que el área del rectángulo de vértices O(0,0)O(0, 0), A(a,0)A(a, 0), B(0,b)B(0, b) y P(a,b)P(a, b) viene dada por la función f(x)=100⋅sen⁡(x)⋅cos⁡(x)f(x) = 100 \cdot \operatorname{sen}(x) \cdot \cos(x).0,75 pts
b
Calcule el ángulo xx (en radianes) para que el área de dicho rectángulo sea máxima.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Considere el plano π:2x−y+3z−5=0\pi: 2x-y+3z-5=0 y la rectar:x−12=y+11=z−2−1.r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-1}.
a
Estudie la posición relativa de rr y π\pi.0,75 pts
b
Si rr corta a π\pi en un solo punto, calcule dicho punto y el ángulo que forma rr con π\pi. Si rr es paralela a π\pi, calcule la distancia de rr a π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 4.1 o 4.2

4.1o4.2
2 puntos

a elegir entre 4.1 y 4.2

Justifique que la derivada de la función f(x)=ex(x−1)+1−xf(x) = e^x(x-1)+1-x se anula en algún punto del intervalo (0,1)(0, 1).
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a elegir entre 4.1 y 4.2

a
Calcule la integral indefinida ∫1x(ln⁡x)2dx\int \frac{1}{x(\ln x)^2} dx.1,5 pts
b
Determine la primitiva de la función f(x)=1x(ln⁡x)2f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^2} cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas (e,1)(e, 1).0,5 pts
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Ejercicio 5.1 o 5.2

5.1o5.2
2 puntos

a elegir entre 5.1 y 5.2

En una fábrica hay tres máquinas, AA, BB y CC, que producen el mismo tipo de pieza. La máquina AA fabrica el 50%50\% de las piezas, y el 3%3\% de ellas son defectuosas. La máquina BB fabrica el 30%30\% de las piezas, y el 4%4\% de ellas son defectuosas. La máquina CC fabrica el 20%20\% de las piezas, y el 5%5\% de ellas son defectuosas. Se elige una pieza al azar de la producción total.
a
Calcule la probabilidad de que la pieza sea defectuosa.0,75 pts
b
Sabiendo que la pieza elegida es defectuosa, calcule la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina BB.0,75 pts
c
Calcule la probabilidad de que la pieza no sea defectuosa sabiendo que procede de la máquina CC.0,5 pts
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a elegir entre 5.1 y 5.2

Una fábrica produce bombillas y se sabe que el 5%5\% son defectuosas.
a
Calcule la probabilidad de que en 9 bombillas escogidas al azar haya exactamente 3 bombillas defectuosas.0,75 pts
b
Calcule la probabilidad de que en 200 bombillas escogidas al azar haya al menos 10 bombillas defectuosas.1,25 pts
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