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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2013

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. La puntuación de cada ejercicio aparece indicada al inicio del mismo y se distribuirá de forma razonable entre los distintos apartados (no necesariamente con el mismo peso). Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
1 punto
Halla el valor de mm para que la recta de ecuación x2=y=z\frac{x}{2} = y = z y el plano de ecuación x−y+mz=4x - y + mz = 4 formen un ángulo de 3030 grados.
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Ejercicio 2

2
1 punto
Encuentra los valores de aa y bb para los que A⋅At=I3A \cdot A^t = I_3 dondeA=(cos⁡bsen⁡b0−sen⁡bcos⁡b000a),A = \begin{pmatrix} \cos b & \sen b & 0 \\ -\sen b & \cos b & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix},I3I_3 es la matriz identidad de orden 3 y AtA^t la matriz traspuesta de AA.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula una primitiva de la función f′(x)=11−x2f'(x) = \frac{1}{1 - x^2} de modo que f(2)=lim⁡x→0ln⁡(x2+1)xf(2) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Un segmento de longitud ll se apoya en los ejes coordenados del primer cuadrante determinando con ellos un triángulo rectángulo. Hallar el valor mínimo de la abcisa en que se apoya para que el área del triángulo mencionado, de hipotenusa ll, sea máximo.
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. En función del parámetro aa, discute y resuelve cuando sea posible el sistema de ecuaciones lineales:{x+y+z=ax+y+az=1x+ay+z=1\begin{cases} x + y + z = a \\ x + y + az = 1 \\ x + ay + z = 1 \end{cases}
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Ejercicio 1

1
1 punto
Halla el valor de mm para que la recta de ecuación x2=y=z\frac{x}{2} = y = z y el plano de ecuación x−y+mz=4x - y + mz = 4 formen un ángulo de 3030 grados.
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Ejercicio 2

2
1 punto
Encuentra los valores de aa y bb para los que A⋅At=I3A \cdot A^t = I_3 dondeA=(cos⁡bsen⁡b0−sen⁡bcos⁡b000a),A = \begin{pmatrix} \cos b & \sen b & 0 \\ -\sen b & \cos b & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix},I3I_3 es la matriz identidad de orden 3 y AtA^t la matriz traspuesta de AA.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula una primitiva de la función f′(x)=11−x2f'(x) = \frac{1}{1 - x^2} de modo que f(2)=lim⁡x→0ln⁡(x2+1)xf(2) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
i
Si h(x)h(x) es una función real tal que h(0)=0h(0) = 0 y h′(0)=1h'(0) = 1 y g(x)=esen⁡(h(x))g(x) = e^{\sen(h(x))}, calcula g′(0)g'(0).
ii
Calcula los posibles valores de aa, bb, cc para los que f(x)=aln⁡x+bx+cx2f(x) = a \ln x + bx + cx^2 tiene en (1,0)(1, 0) un mínimo relativo y cumple que lim⁡x→+∞f(x)x2=1\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1.
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Sean A(2,−1,0)A(2, -1, 0), B(−2,1,0)B(-2, 1, 0) y C(0,1,2)C(0, 1, 2) tres vértices consecutivos de un paralelogramo ABCDABCD.
i
Determina el vértice DD.
ii
Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro (punto de corte de sus diagonales) del paralelogramo ABCDABCD y que es perpendicular al plano que lo contiene.
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