Matemáticas II · La Rioja 2013

Halla el valor de $m$ para que la recta de ecuación $\frac{x}{2} = y = z$ y el plano de ecuación $x - y + mz = 4$ formen un ángulo de $30$ grados.

Halla el valor de $m$ para que la recta de ecuación $\frac{x}{2} = y = z$ y el plano de ecuación $x - y + mz = 4$ formen un ángulo de $30$ grados.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ para los que $A \cdot A^t = I_3$ donde $$A = \begin{pmatrix} \cos b & \sen b & 0 \\ -\sen b & \cos b & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix},$$ $I_3$ es la matriz identidad de orden 3 y $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ para los que $A \cdot A^t = I_3$ donde $$A = \begin{pmatrix} \cos b & \sen b & 0 \\ -\sen b & \cos b & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix},$$ $I_3$ es la matriz identidad de orden 3 y $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

Calcula una primitiva de la función $f'(x) = \frac{1}{1 - x^2}$ de modo que $f(2) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$.

Calcula una primitiva de la función $f'(x) = \frac{1}{1 - x^2}$ de modo que $f(2) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$.

Un segmento de longitud $l$ se apoya en los ejes coordenados del primer cuadrante determinando con ellos un triángulo rectángulo. Hallar el valor mínimo de la abcisa en que se apoya para que el área del triángulo mencionado, de hipotenusa $l$, sea máximo.

Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. En función del parámetro $a$, discute y resuelve cuando sea posible el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + y + az = 1 \\ x + ay + z = 1 \end{cases}$$

Sean $A(2, -1, 0)$, $B(-2, 1, 0)$ y $C(0, 1, 2)$ tres vértices consecutivos de un paralelogramo $ABCD$.