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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2015

4 ejercicios

Instrucciones

Realiza una de las dos opciones propuestas (A o B)
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{ax−y=0−2ax+a2y+az=−2a−ax+(a2−1)y+(a+1)z=−a−2\begin{cases} ax - y = 0 \\ -2ax + a^2y + az = -2a \\ -ax + (a^2 - 1)y + (a + 1)z = -a - 2 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P≡(1,−2,3)P \equiv (1, -2, 3) y corta perpendicularmente a la rectar≡{x+y+z−4=03x+y−3z−2=0r \equiv \begin{cases} x + y + z - 4 = 0 \\ 3x + y - 3z - 2 = 0 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Halla las asíntotas de la funciónf(x)=2x2−1x−2f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x - 2}
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=sen⁡(π2x)cos⁡(π2x)f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) y g(x)=4−4x2g(x) = 4 - 4x^2, encuentra los dos puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Encuentra los valores de t∈Rt \in \mathbb{R} para los que el determinante de la matriz ABAB vale 00, siendoA=(2−130t201+t3)yB=(2+t−101t047t)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & t & 2 \\ 0 & 1 + t & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 + t & -1 & 0 \\ 1 & t & 0 \\ 4 & 7 & t \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados los puntos P≡(1,2,−1)P \equiv (1, 2, -1), Q≡(2,−1,1)Q \equiv (2, -1, 1) y R≡(3,1,2)R \equiv (3, 1, 2) encuentra todos los posibles puntos SS tales que P,Q,RP, Q, R y SS son los vértices de un paralelogramo.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞(5x2+4x−1−5x2−6x)\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{5x^2 + 4x - 1} - \sqrt{5x^2 - 6x}\right)1 pt
b
lim⁡x→+∞(x2+2x+1x2+3)3x−1\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3}\right)^{3x - 1}1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Demuestra que existen α∈(−1,1)\alpha \in (-1, 1) y β∈(−1,1)\beta \in (-1, 1), α≠β\alpha \neq \beta, tales que f′(α)=f′(β)=0f'(\alpha) = f'(\beta) = 0 siendof(x)=(x3+1)e3x+23(x−1)sen⁡(π2x)3f(x) = (x^3 + 1) e^{\sqrt[3]{3x + 2}} \sqrt[3]{(x - 1) \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right)}
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