Matemáticas II · Navarra 2015

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} ax - y = 0 \\ -2ax + a^2y + az = -2a \\ -ax + (a^2 - 1)y + (a + 1)z = -a - 2 \end{cases}$$

Encuentra los valores de $t \in \mathbb{R}$ para los que el determinante de la matriz $AB$ vale $0$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & t & 2 \\ 0 & 1 + t & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 + t & -1 & 0 \\ 1 & t & 0 \\ 4 & 7 & t \end{pmatrix}$$

Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (1, -2, 3)$ y corta perpendicularmente a la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + z - 4 = 0 \\ 3x + y - 3z - 2 = 0 \end{cases}$$

Dados los puntos $P \equiv (1, 2, -1)$, $Q \equiv (2, -1, 1)$ y $R \equiv (3, 1, 2)$ encuentra todos los posibles puntos $S$ tales que $P, Q, R$ y $S$ son los vértices de un paralelogramo.

Halla las asíntotas de la función $$f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x - 2}$$

Calcula los siguientes límites:

Dadas las funciones $f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ y $g(x) = 4 - 4x^2$, encuentra los dos puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.

Demuestra que existen $\alpha \in (-1, 1)$ y $\beta \in (-1, 1)$, $\alpha \neq \beta$, tales que $f'(\alpha) = f'(\beta) = 0$ siendo $$f(x) = (x^3 + 1) e^{\sqrt[3]{3x + 2}} \sqrt[3]{(x - 1) \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$$