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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2014Variante 5

Matemáticas II · Andalucía 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcula lim⁡x→0tan⁡x−sen⁡xx−sen⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{x - \operatorname{sen} x}.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=x3−3x2−x+3f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3.
a
Halla, si existe, el punto de la gráfica de ff en el que la recta tangente es y=3−xy = 3 - x.0,75 pts
b
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ff y la recta del apartado anterior.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas x,y,zx, y, z,{λy+(λ+1)z=λλx+z=λx+λz=λ\begin{cases} \lambda y + (\lambda + 1) z = \lambda \\ \lambda x + z = \lambda \\ x + \lambda z = \lambda \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores del parámetro λ\lambda.1,5 pts
b
Resuelve el sistema para λ=1\lambda = 1.0,5 pts
c
Para λ=0\lambda = 0, si es posible, da tres soluciones distintas.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean A(−3,4,0)A(-3, 4, 0), B(3,6,3)B(3, 6, 3) y C(−1,2,1)C(-1, 2, 1) los vértices de un triángulo.
a
Halla la ecuación del plano π\pi que contiene al triángulo.1 pt
b
Halla la ecuación de la recta perpendicular a π\pi que pasa por el origen de coordenadas.1 pt
c
Calcula el área del triángulo ABCABC.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=x2e−x2f(x) = x^2 e^{-x^2}.
a
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.0,75 pts
b
Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,25 pts
c
Esboza la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:(−1,3)→Rf: (-1, 3) \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=x+9(x+1)(x−3)f(x) = \frac{x + 9}{(x + 1)(x - 3)}. Determina la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (1,0)(1, 0).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(1000−210−53)yB=(001111100)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}Halla la matriz XX que verifica A−1XA=B−AA^{-1} X A = B - A.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto A(8,−1,3)A(8, -1, 3) y la recta rr dada por x+12=y−2=z−13\frac{x + 1}{2} = y - 2 = \frac{z - 1}{3}.
a
Calcula la ecuación del plano que pasa por AA y es perpendicular a rr.1,25 pts
b
Halla el punto simétrico de AA respecto de rr.1,25 pts
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