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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2020Variante 5

Matemáticas II · Andalucía 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=(5−x)ex−4f(x) = (5 - x)e^{x - 4}. Determina los puntos de la gráfica de ff cuya recta tangente tiene pendiente máxima.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(t)=11+etf(t) = \frac{1}{1 + e^t}
a
Calcula ∫f(t)dt\int f(t) dt (Sugerencia: efectúa el cambio de variable x=1+etx = 1 + e^t).1,5 pts
b
Se define g(x)=∫0xf(t)dtg(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt. Calcula lim⁡x→0g(x)x\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones {−my+z=15x+2y+mz=0my+(m−3)z=−3\begin{cases} -my + z = 1 \\ 5x + 2y + mz = 0 \\ my + (m - 3)z = -3 \end{cases}
a
Discute el sistema en función de mm.1,25 pts
b
Para m=0m = 0, resuelve el sistema. Calcula, si es posible, una solución en la que y=5y = 5.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,0,1)A(1, 0, 1), B(−1,0,2)B(-1, 0, 2) y O(0,0,0)O(0, 0, 0), y la recta r≡{x=−1−λy=λz=2r \equiv \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases}
a
Calcula la distancia del punto AA a la recta rr.1,5 pts
b
Determina el área del triángulo de vértices AA, BB y OO.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Se sabe que la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x)=ax3+bx2+cx−1,f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1, tiene un punto crítico en x=2x = 2 y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa x=1x = 1 es y=12x+32y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}. Calcula aa, bb y cc.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Calcula ∫cos⁡(ln⁡x)dx\int \cos(\ln x) dx (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera A=(1−1mm2−3m−104)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & -3 \\ m - 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}, B=(5−12)B = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} y C=(310)C = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
a
Determina los valores de mm para los que la ecuación AX+B=CAX + B = C tiene solución única.1 pt
b
Para m=0m = 0, halla XX tal que AX+B=CAX + B = C.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Considera el plano π≡2x−y+z−3=0\pi \equiv 2x - y + z - 3 = 0, la recta r≡{x=3+λy=1−2λz=−2−λr \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = -2 - \lambda \end{cases} y el punto P(1,1,2)P(1, 1, 2).
a
Determina la ecuación general del plano perpendicular a π\pi, paralelo a rr y que pasa por el punto PP.1,25 pts
b
Calcula el punto simétrico de PP respecto de la recta rr.1,25 pts
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