Matemáticas II · Andalucía 2020

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = (5 - x)e^{x - 4}$. Determina los puntos de la gráfica de $f$ cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(t) = \frac{1}{1 + e^t}$

Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} -my + z = 1 \\ 5x + 2y + mz = 0 \\ my + (m - 3)z = -3 \end{cases}$$

Considera los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(-1, 0, 2)$ y $O(0, 0, 0)$, y la recta $r \equiv \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{cases}$

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1,$$ tiene un punto crítico en $x = 2$ y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$ es $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. Calcula $a$, $b$ y $c$.

Calcula $\int \cos(\ln x) dx$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & -3 \\ m - 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Considera el plano $\pi \equiv 2x - y + z - 3 = 0$, la recta $r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = -2 - \lambda \end{cases}$ y el punto $P(1, 1, 2)$.