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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSExtremaduraPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Extremadura 2022

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen consta de 10 problemas cuyo valor máximo es de 2 puntos cada uno. El estudiante ha de elegir 5 problemas. En ningún caso deberá responder a un número mayor del indicado porque en la corrección del examen sólo se tendrán en cuenta los cinco primeros problemas resueltos. Si se desea que alguno de ellos no sea tenido en cuenta, el estudiante ha de tacharlo y dejarlo claramente indicado. En ese caso, además de los cuatros primeros problemas sin tachar, se corregiría el que ocupe el sexto lugar.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas las matrices A=(6124)A = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, B=(413−215)B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} y C=(−1−2314−2)C = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}. Calcular la matriz XX que cumpla la ecuación matricial AX−Bt=C+3XAX - B^t = C + 3X siendo BtB^t la matriz traspuesta de BB. Justificar la respuesta.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dada la matriz AA siguiente:A=(111−1x−1x−21)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & x & -1 \\ x & -2 & 1 \end{pmatrix}Se pide, justificando las respuestas:
a
Determinar para qué valores de xx existe la inversa de AA.1 pt
b
Calcular la inversa de AA para x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Resolver, justificando la respuesta, el siguiente sistema de ecuaciones:{3x−2y+4z=3x+y−z=−22x−3y+2z=−1\begin{cases} 3x - 2y + 4z = 3 \\ x + y - z = -2 \\ 2x - 3y + 2z = -1 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En una pastelería se elaboran pasteles de tipo A y B. Cada pastel de tipo A necesita 6 gramos de azúcar y 3 gramos de levadura, con un beneficio de 4,54{,}5 euros. Cada pastel de tipo B se elabora con 4 gramos de azúcar y 4 de levadura, con un beneficio de 5,55{,}5 euros. Sabiendo que solo dispone de 240 gramos de azúcar y 180 gramos de levadura, calcular, justificando la respuesta, el número de pasteles de cada tipo que debe fabricar para obtener unos beneficios máximos así como el valor de dichos beneficios máximos.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El consumo eléctrico de una tienda C(t)C(t) (en kilovatios) durante las 8 horas que permanece abierta depende del tiempo tt (en horas) desde que abrió según la función:C(t)=10+6Bt+6At2+t31≤t≤8C(t) = 10 + 6Bt + 6At^2 + t^3 \quad 1 \leq t \leq 8Determinar, razonando la respuesta, las constantes AA y BB sabiendo que su consumo máximo se alcanza a las 6 horas y asciende a 10 kilovatios.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
La cantidad de pescado capturado en cierto lago en pequeñas embarcaciones, P(x)P(x) (en kg) es una función de la longitud de la embarcación, xx, que oscila entre 1 y 12 metros. La función que relaciona ambas magnitudes es la siguiente:P(x)=3x3−45x2+144x+2301≤x≤12P(x) = 3x^3 - 45x^2 + 144x + 230 \quad 1 \leq x \leq 12Se pide, razonando las respuestas:
a
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la cantidad de pescado capturado en función de la longitud de la embarcación utilizada.1,5 pts
b
Representar gráficamente la función P(x)P(x).0,5 pts
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Se pide:
a
Determinar, razonando la respuesta, el área encerrada por la función f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 y el eje OX entre x=1x = 1 y x=3x = 3.1 pt
b
Determinar, razonando la respuesta, las asíntotas de la función:g(x)=3x2+24−x2g(x) = \frac{3x^2 + 2}{4 - x^2}1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Un club de fútbol tiene 200 abonados de gran antigüedad, 500 abonados con varios años de antigüedad y 300 nuevos abonados. Se pregunta a los abonados si están de acuerdo con una subida de los precios de los abonos a cambio de que el club ofrezca servicios adicionales. Se muestran favorables a la subida 80 abonados de gran antigüedad, 280 con varios años de antigüedad y 120 nuevos abonados. Se pide, razonando la respuesta:
a
Calcular la probabilidad de que un abonado sea nuevo y favorable a la subida.1 pt
b
Calcular la probabilidad de que un abonado, que se sabe que es favorable a la subida, tenga una gran antigüedad en el club.1 pt
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Ejercicio 9

9
2 puntos
La producción de tomates en parcelas de una zona de regadío se ajusta a distribución normal con desviación típica 1 tonelada. Con objeto de estimar la producción media de la zona, se registran los datos de 36 parcelas que arrojan una producción media de 8,78{,}7 toneladas. Hallar un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 90%, para la producción media de tomates de las parcelas de la zona. Razonar la respuesta.
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Se quiere realizar un estudio sobre la proporción de hogares españoles con conexión de fibra óptica. Como dicha proporción es desconocida, asumimos de principio un valor P=0,5P = 0{,}5. Se pide determinar el número mínimo de hogares que hay que visitar si deseamos calcular un intervalo de confianza para dicha proporción con un nivel confianza del 99% y cuya longitud sea inferior a 0,140{,}14. Razonar la respuesta.
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