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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2020

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen está distribuido en tres bloques que contienen tres ejercicios cada uno de ellos. De cada uno de los bloques, el alumno podrá contestar como máximo a dos ejercicios. En total deberá contestar a 4 ejercicios. Es decir, podrá contestar a dos ejercicios de un bloque y uno de cada uno de los otros dos, o bien elegir dos bloques y contestar a dos ejercicios de cada uno. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.

Ejercicio 1 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

1Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
De los bebés que se han inscrito en el mes de mayo en el registro civil de Logroño, 63 tienen de nombre Alba, Lucía, Pedro o Mateo. 48 de ellos tienen los nombres de Alba, Pedro o Mateo. Sabemos que el número de bebés inscritos con el nombre de Pedro es igual a la suma de los inscritos con los nombres de Alba y Mateo; además se han inscrito tantos bebés con el nombre de Alba como la suma de la mitad de los inscritos con el nombre de Pedro más los inscritos con el nombre de Mateo.
i
¿Cuántos de estos bebés se llaman Alba?, ¿cuántos Pedro?, ¿cuántos Mateo?2 pts
ii
¿Cuántos bebés se llaman Lucía?0,5 pts
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Ejercicio 1 · Bloque 2. Análisis

1Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Sea la funciónf(t)={2t2,0≤t<13t−1,1≤t<2−5t+15,2≤t≤3f(t) = \begin{cases} 2t^2, & 0 \leq t < 1 \\ 3t - 1, & 1 \leq t < 2 \\ -5t + 15, & 2 \leq t \leq 3 \end{cases}
i
Estudia razonadamente su continuidad.0,75 pts
ii
Haz una representación gráfica de la función ff.1 pt
iii
Si la función ff representa la asistencia (en miles de personas) a un festival de música en función del tiempo tt (medido en horas), ¿en qué momento la asistencia fue máxima? (Para qué valor de tt). ¿Cuántas personas había en el festival en ese momento?0,75 pts
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Ejercicio 1 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

1Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
En una residencia canina hay en total 120 perros; de ellos 40 son pastores alemanes (35 negros y 5 blancos), 30 pekineses (18 negros y 12 blancos) y 50 mastines (42 negros y 8 blancos).
i
Hemos elegido un perro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que NO sea pekinés?0,75 pts
ii
Elegido al azar un perro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color blanco?0,75 pts
iii
Se ha elegido al azar un perro que ha resultado ser blanco, ¿cuál es la probabilidad de que sea un mastín?1 pt
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Ejercicio 2 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

2Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Sea A=(−2−2−10)A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.
i
Calcula A2A^2 y A3A^3.0,5 pts
ii
Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, calcula A15A^{15} y A30A^{30}.1 pt
iii
Resuelve la ecuación matricial AX=(11)AX = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.1 pt
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Ejercicio 2 · Bloque 2. Análisis

2Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Sea la función f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c.
i
Determina aa, bb y cc sabiendo que el punto (2,1)(2, 1) pertenece a la gráfica de la función ff y que, además, el punto (−1,0)(-1, 0) es un extremo relativo de ff.1,25 pts
ii
Determina el área que encierra la gráfica de ff y el eje OXOX en el intervalo [0,3][0, 3]. NOTA: si no has conseguido determinar aa, bb y cc en el apartado anterior, toma a=1a = 1, b=2b = 2 y c=1c = 1 en este segundo apartado.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

2Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
La vida media de un modelo de grapadoras sigue una distribución normal con una desviación típica de 60 días.
Datos
  • Desviación típica σ=60\sigma = 60 días
i
Si la media fuese de 950 días, ¿cuál sería la probabilidad de que la duración media de una muestra de 100 grapadoras superase los 959 días?1,25 pts
ii
Si una muestra de 64 grapadoras tiene una vida media de 980 días, determina un intervalo de confianza del 90 % para la media de la producción.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

3Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Julián dispone de 10 hectáreas de terreno para cultivar dos variedades de uva: tempranillo y viura. El beneficio que le produce una hectárea de tempranillo es de 2 mil euros y la de viura 3 mil euros. Dispone de 180 kg de productos fitosanitarios; una hectárea de tempranillo precisa de 10 kg de estos productos y una hectárea de viura 20. Vendimiar una hectárea de tempranillo le cuesta 20 horas y una de viura 10 horas; dispone de un total de 160 horas de trabajo de vendimiadores.
i
¿Cómo puede distribuir Julián el cultivo de sus 10 hectáreas respetando sus restricciones? Dibuja en el plano la región factible que represente los posibles repartos.1,25 pts
ii
Escribe la función que representa el beneficio que obtiene Julián. ¿Con qué distribución obtiene el máximo beneficio? Calcula dicho máximo.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Bloque 2. Análisis

3Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
La producción de un invernadero depende de la temperatura a la que esté regulado. La cantidad de toneladas de verduras que produce viene dada por la siguiente función, en la que xx indica la temperatura en grados Celsius:f(x)=(x+3)2(36−x)(0≤x≤36)f(x) = (x + 3)^2 (36 - x) \quad (0 \leq x \leq 36)
i
¿Para qué valor de xx se obtiene la máxima producción?1,5 pts
ii
¿Cuántas toneladas se obtienen a esa temperatura?0,5 pts
iii
¿Para qué valores de xx el invernadero no produce nada?0,5 pts
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Ejercicio 3 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

3Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Luis ha hecho una cartulina con cada una de las siete letras de LA RIOJA y las ha introducido en una urna.
i
Si extrae una cartulina, ¿cuál es probabilidad de que sea la R?, ¿cuál es la probabilidad de que NO sea la A?0,5 pts
ii
Luis extrae una cartulina y, a continuación, sin volver a introducir la primera, saca otra y se las muestra en ese orden a María. ¿Cuál es la probabilidad de que María vea LA?0,5 pts
iii
Luis repite la operación y le vuelve a mostrar las cartas a María. ¿Cuál es la probabilidad de que María pueda formar la palabra LA?, ¿y de que pueda formar la palabra LO?0,75 pts
iv
Luis extrae ahora tres cartulinas sin reemplazar después de cada extracción. ¿Cuál es la probabilidad de que María lea RIO si se las muestra en el orden en el que Luis las ha extraído? ¿Y de que lea RIA?0,75 pts
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