Matemáticas II · Extremadura 2019

Dadas las siguientes matrices $A$ e $I$, pruebe que la inversa de $A$ es $A^{-1} = A^2 - 3A + 3I$.

Discuta, en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$, el sistema lineal de ecuaciones: $$\begin{cases} 2x + y - az = 2 \\ x + y = a + 1 \\ (a + 1)x + y - z = 2 \end{cases}$$

Sean las rectas $r : \begin{cases} x = 1 + y \\ z = 1 \end{cases}$ y $s : \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases}$

Sean $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (0, 0, -1)$ y $B = (0, -2, -1)$ y $s$ la recta que pasa por los puntos $C = (-1, 2, 0)$ y $D = (1, 0, -1)$.

Sea la función $f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x < 0, \\ e^x & \text{si } x \geq 0. \end{cases}$

Sea la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$.

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 2$ y $g(x) = x$.

Calcule una primitiva $F(x)$ de la función $$f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 1}$$

Un persona utiliza Whatsapp un $70\%$ y Telegram un $30\%$. El $80\%$ de los Whatsapp son de amigos y el $20\%$ de trabajo, mientras que de Telegram, el $80\%$ son de trabajo y $20\%$ de amigos.

Se estima que el $40\%$ de los alumnos que comienzan un grado de ingeniería acaban obteniendo el grado. Si se elige al azar a 5 alumnos que comenzaron una ingeniería, calcule: