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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2010

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno/a debe responder solo los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Pon un ejemplo de matriz simétrica de orden 3 y otro de matriz antisimétrica de orden 3.
b
Sea MM una matriz simétrica de orden 3, con det⁡(M)=−1\det(M) = -1. Calcula, razonando la respuesta, el determinante de M+MtM + M^t, siendo MtM^t la matriz traspuesta de MM.
c
Resuelve la ecuación matricial X⋅(1−12−2)=(2−200)X \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la recta r:{x+y+z−3=0x−y−z−1=0r: \begin{cases} x + y + z - 3 = 0 \\ x - y - z - 1 = 0 \end{cases}
a
Calcula la ecuación general del plano π\pi perpendicular a rr y que pasa por el punto P(2,−1,−2)P(2, -1, -2).
b
Calcula el punto QQ en el que rr corta a π\pi. Calcula el ángulo que forma el plano π\pi con cada uno de los planos coordenados.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Definición e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
b
Calcula: lim⁡x→0ex+e−x−2cos⁡xsen⁡(x2)\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2 \cos x}{\sen(x^2)}
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de y=−x2+1y = -x^2 + 1 y las rectas tangentes a esta parábola en los puntos de corte de la parábola con el eje OX. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el sistema de ecuaciones lineales:{mx+y−2z=0x+y+z=0x−y+z=m\begin{cases} mx + y - 2z = 0 \\ x + y + z = 0 \\ x - y + z = m \end{cases}
b
Resuélvelo, si es posible, en los casos m=0m = 0 y m=−1m = -1.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las rectas r:{x=3−3λy=−4λz=−6s:{4x−3y−12=05y−4z−4=0r: \begin{cases} x = 3 - 3\lambda \\ y = -4\lambda \\ z = -6 \end{cases} \qquad\allowbreak s: \begin{cases} 4x - 3y - 12 = 0 \\ 5y - 4z - 4 = 0 \end{cases}
a
Estudia su posición relativa. Si se cortan, calcula el punto de corte y el ángulo que forman rr y ss.
b
Calcula, si existe, el plano que las contiene.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dibuja la gráfica de la función f(x)=x2x−2f(x) = \frac{x^2}{x - 2}, estudiando: dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcula ∫xln⁡(1+x2) dx\int x \ln(1 + x^2) \, dx (Nota: ln⁡=logaritmo neperiano\ln = \text{logaritmo neperiano}).
b
Enuncia e interpreta geométricamente el teorema del valor medio del cálculo integral.
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