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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2014

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Considérese el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real λ\lambda:{2x−λy+z=−λ4x−2λy+2z=λ−3\begin{cases} 2x - \lambda y + z = -\lambda \\ 4x - 2\lambda y + 2z = \lambda - 3 \end{cases}
a
Determínense los valores del parámetro real λ\lambda que hacen que el sistema sea incompatible.1 pt
b
Resuélvase el sistema para λ=1\lambda = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida porf(x)=(x−3)2x(x−2)f(x) = \frac{(x - 3)^2}{x(x - 2)}
a
Determínense las asíntotas de ff.1 pt
b
Estúdiese si la función ff es creciente o decreciente en un entorno de x=4x = 4.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por f(x)=2ex+1f(x) = 2e^{x+1}.
a
Esbócese la gráfica de la función ff.1 pt
b
Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x=0x = 0 y x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En la representación de navidad de los alumnos de 3° de primaria de un colegio hay tres tipos de papeles: 7 son de animales, 3 de personas y 12 de árboles. Los papeles se asignan al azar, los alumnos escogen por orden alfabético sobres cerrados en los que está escrito el papel que les ha correspondido.
a
Calcúlese la probabilidad de que a los dos primeros alumnos les toque el mismo tipo de papel.1 pt
b
Calcúlese la probabilidad de que el primer papel de persona le toque al tercer alumno de la lista.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La estatura en centímetros (cm) de los varones mayores de edad de una determinada población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ=16 cm\sigma = 16\,\text{cm}.
Datos
  • σ=16 cm\sigma = 16\,\text{cm}
a
Se tomó una muestra aleatoria simple de 625 individuos obteniéndose una media muestral xˉ=169 cm\bar{x} = 169\,\text{cm}. Hállese un intervalo de confianza al 98 %98\,\% para μ\mu.1 pt
b
¿Cuál es el mínimo tamaño muestral necesario para que el error máximo cometido en la estimación de μ\mu por la media muestral sea menor que 4 cm4\,\text{cm}, con un nivel de confianza del 90 %90\,\%?1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Considérese la matrizA=(100001)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
Datos
  • AtA^t denota a la traspuesta de la matriz AA
  • II es la matriz identidad de orden 3
a
Calcúlese (A⋅At)200(A \cdot A^t)^{200}.1 pt
b
Calcúlese (A⋅At−3I)−1(A \cdot A^t - 3I)^{-1}.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea SS la región del plano definida pory≥2x−4;y≤x−1;2y≥x;x≥0;y≥0y \geq 2x - 4; \quad y \leq x - 1; \quad 2y \geq x; \quad x \geq 0; \quad y \geq 0
a
Represéntese la región SS y calcúlense las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Obténganse los valores máximo y mínimo de la función f(x,y)=x−3yf(x, y) = x - 3y en SS indicando los puntos de SS en los cuales se alcanzan dichos valores máximo y mínimo.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida porf(x)=λx4+x2f(x) = \frac{\lambda x}{4 + x^2}
a
Calcúlese el valor del parámetro real λ\lambda para que la recta tangente a la gráfica de ff en x=−1x = -1 sea paralela a la recta y=2x−3y = 2x - 3.1 pt
b
Calcúlese ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x)\,dx para λ=1\lambda = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Al 80 %80\,\% de los trabajadores en educación (E) que se jubilan sus compañeros les hacen una fiesta de despedida (FD), también al 60 %60\,\% de los trabajadores de justicia (J) y al 30 %30\,\% de los de sanidad (S). En el último año se jubilaron el mismo número de trabajadores en educación que en sanidad, y el doble en educación que en justicia.
a
Calcúlese la probabilidad de que a un trabajador de estos sectores, que se jubiló, le hicieran una fiesta.1 pt
b
Sabemos que a un trabajador jubilado elegido al azar de entre estos sectores, no le hicieron fiesta. Calcúlese la probabilidad de que fuera de sanidad.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El mínimo tamaño muestral necesario para estimar la media de una determinada característica de una población que puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica σ\sigma, con un error máximo de 3,2903{,}290 y un nivel de confianza del 90 %90\,\%, supera en 75007500 unidades al que se necesitaría si el nivel de confianza fuera del 95 %95\,\% y el error máximo fuera de 7,8407{,}840. Exprésense los tamaños muestrales en función de la desviación típica σ\sigma y calcúlense la desviación típica de la población y los tamaños muestrales respectivos.
Datos
  • z0,05=1,645z_{0{,}05} = 1{,}645
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