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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2014

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que ∣111xyz024∣=4\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 4, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.
a
∣3x3y3z111024∣\begin{vmatrix} 3x & 3y & 3z \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}1 pt
b
∣xyz3x3y+23z+4x+2y+2z+2∣\begin{vmatrix} x & y & z \\ 3x & 3y + 2 & 3z + 4 \\ x + 2 & y + 2 & z + 2 \end{vmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Determine para qué valor del parámetro aa la rectar ⁣:{x+y+z=1−x−2y+z=0r \colon \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases}es perpendicular al plano π:−6x+ay+2z=0\pi : -6x + ay + 2z = 0.1,25 pts
b
Demuestre que si a=−8a = -8 la recta rr corta al plano π\pi en un punto y calcule dicho punto de corte.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=exxf(x) = \frac{e^x}{x}, se pide:
a
Dominio de definición y cortes con los ejes.0,5 pts
b
Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).0,75 pts
c
Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).0,75 pts
d
Representación gráfica aproximada.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫tg⁡x dx\int \tg x \, dx.2 pts
b
De todas las primitivas de la función f(x)=tg⁡xf(x) = \tg x, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,2)(0,2).0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{ax+3y+z=ax+ay+az=1x+y−z=1\begin{cases} ax + 3y + z = a \\ x + ay + az = 1 \\ x + y - z = 1 \end{cases}1,5 pts
b
Si es posible, resuélvalo para el valor de a=−1a = -1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dos de los tres vértices de un triángulo son los puntos A=(1,1,1)A = (1,1,1) y B=(1,1,3)B = (1,1,3). El tercer vértice CC está en la recta rr que pasa por los puntos P=(−1,0,2)P = (-1,0,2) y Q=(0,0,2)Q = (0, 0, 2).
Datos
  • Hay dos soluciones distintas
  • basta con calcular una de ellas
a
Determine la ecuación de la recta rr.0,75 pts
b
Calcule las coordenadas del vértice CC para que el área del triángulo sea 1515 unidades cuadradas.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x, se pide:
a
Determine el punto de la gráfica de ff para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcule la ecuación de dicha recta.1,25 pts
b
Determine el punto de la gráfica de ff para el cual la recta tangente es paralela al eje OXOX. Calcule la ecuación de dicha recta.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Encuentre una primitiva de la función f(x)=xcos⁡xf(x) = x \cos x.1,5 pts
b
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)=xcos⁡xf(x) = x \cos x y el eje de abscisas entre x=0x = 0 y x=πx = \pi.1 pt
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