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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2014

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Sabiendo que ∣111xyz024∣=4\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 4, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.
a)1 pts
∣3x3y3z111024∣\begin{vmatrix} 3x & 3y & 3z \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}
b)1,5 pts
∣xyz3x3y+23z+4x+2y+2z+2∣\begin{vmatrix} x & y & z \\ 3x & 3y + 2 & 3z + 4 \\ x + 2 & y + 2 & z + 2 \end{vmatrix}
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa: {ax+3y+z=ax+ay+az=1x+y−z=1\begin{cases} ax + 3y + z = a \\ x + ay + az = 1 \\ x + y - z = 1 \end{cases}
b)1 pts
Si es posible, resuélvalo para el valor de a=−1a = -1.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a)1,25 pts
Determine para qué valor del parámetro aa la recta r ⁣:{x+y+z=1−x−2y+z=0r \colon \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases} es perpendicular al plano π:−6x+ay+2z=0\pi : -6x + ay + 2z = 0.
b)1,25 pts
Demuestre que si a=−8a = -8 la recta rr corta al plano π\pi en un punto y calcule dicho punto de corte.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Dos de los tres vértices de un triángulo son los puntos A=(1,1,1)A = (1,1,1) y B=(1,1,3)B = (1,1,3). El tercer vértice CC está en la recta rr que pasa por los puntos P=(−1,0,2)P = (-1,0,2) y Q=(0,0,2)Q = (0, 0, 2).
a)0,75 pts
Determine la ecuación de la recta rr.
b)1,75 pts
Calcule las coordenadas del vértice CC para que el área del triángulo sea 1515 unidades cuadradas.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Dada la función f(x)=exxf(x) = \frac{e^x}{x}, se pide:
a)0,5 pts
Dominio de definición y cortes con los ejes.
b)0,75 pts
Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c)0,75 pts
Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d)0,5 pts
Representación gráfica aproximada.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dada la función f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x, se pide:
a)1,25 pts
Determine el punto de la gráfica de ff para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcule la ecuación de dicha recta.
b)1,25 pts
Determine el punto de la gráfica de ff para el cual la recta tangente es paralela al eje OXOX. Calcule la ecuación de dicha recta.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)2 pts
Calcule la integral indefinida ∫tg⁡x dx\int \tg x \, dx.
b)0,5 pts
De todas las primitivas de la función f(x)=tg⁡xf(x) = \tg x, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,2)(0,2).
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Encuentre una primitiva de la función f(x)=xcos⁡xf(x) = x \cos x.
b)1 pts
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)=xcos⁡xf(x) = x \cos x y el eje de abscisas entre x=0x = 0 y x=πx = \pi.
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