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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2017Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN Cada pregunta de la 1 a la 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro preguntas. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos. Salvo que se especifique lo contrario, los apartados que figuran en los distintos problemas son equipuntuables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real aa{x−y=−12x−y+z=3y−az=2\begin{cases} x - y = - 1 \\ 2 x - y + z = 3 \\ y - a z = 2 \end{cases}
a
Clasifica el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de aa.1,5 pts
b
Resuelve el sistema para a=2a = 2.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
La función:f(x)={20x2−20x+320<x≤190x−45x+8+27x>1f(x) = \begin{cases} 20x^2 - 20x + 32 & 0 < x \leq 1 \\ \frac{90x - 45}{x + 8} + 27 & x > 1 \end{cases}representa el beneficio, en miles de euros, de cierta empresa transcurridos xx meses.
a
Estudia razonadamente la continuidad de la función f(x)f(x).1 pt
b
Halla los intervalos donde se produce un aumento del beneficio y una disminución del beneficio. ¿En qué momento el beneficio es mínimo?1 pt
c
Determina el beneficio de la empresa a muy largo plazo.1 pt
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Ejercicio 3

3
3 puntos
La lista electoral de un determinado partido político está formada por un número igual de hombres y mujeres. Un análisis sociológico de dichas listas revela que el 60%60\% de los hombres tienen 40 o más años de edad, mientras que el 30%30\% de las mujeres tienen menos de 40 años. Se elige al azar una persona que forma parte de las listas electorales.
a
Calcula la probabilidad de que tenga menos de 40 años.1,5 pts
b
Sabiendo que tiene 40 o más años de edad, calcula la probabilidad de que sea mujer.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
1 punto
El diámetro de las piezas fabricadas por cierta máquina sigue una distribución normal con desviación típica poblacional σ=0,042 cm\sigma = 0{,}042\,\text{cm}. Se elige una muestra representativa de 200 piezas fabricadas por la máquina, resultando un diámetro medio muestral de 0,824 cm0{,}824\,\text{cm}. Halla el intervalo de confianza al 95%95\% para el diámetro medio poblacional de las piezas fabricadas por esa máquina.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Queremos conseguir al menos 210 kg210\,\text{kg} de hidratos de carbono y al menos 100 kg100\,\text{kg} de proteínas adquiriendo dos alimentos A y B que sólo contienen estos dos nutrientes. Cada kg de A contiene 0,6 kg0{,}6\,\text{kg} de hidratos de carbono y 0,4 kg0{,}4\,\text{kg} de proteínas. Cada kg de B contiene 0,9 kg0{,}9\,\text{kg} de hidratos de carbono y 0,1 kg0{,}1\,\text{kg} de proteínas. Si los costes de A y B son 12 y 6 euros por kg, respectivamente, utiliza técnicas de programación lineal para calcular cuántos kg de cada alimento hay que adquirir para que el coste sea mínimo. ¿A cuánto asciende ese coste mínimo?
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula el valor de aa que hace que el valor de la derivada de la función y=ax3+6x2−ax−18y = ax^3 + 6x^2 - ax - 18, en los puntos de abscisa x=−2x = -2 y x=1x = 1, sean iguales.1,5 pts
b
Sabiendo que la curva y=ax3+6x2−ax−18y = ax^3 + 6x^2 - ax - 18 pasa por el punto (2,12)(2, 12), calcula el valor de aa y las coordenadas del punto de la curva donde se anula la segunda derivada.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3 puntos
El gasto por cliente en un supermercado sigue una distribución normal con media μ\mu euros (desconocida) y desviación típica σ=10\sigma = 10 euros. Se elige una muestra representativa de 225 clientes, resultando una suma total de sus gastos de 2587,502587{,}50 euros.
a
Determina un intervalo de confianza del 99%99\% para el gasto medio por cliente.1,5 pts
b
Calcula el tamaño mínimo de la muestra de clientes que permita alcanzar, con una confianza del 95%95\%, un error máximo de 1,201{,}20 euros en la estimación del gasto medio por cliente.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
1 punto
En una clase con 15 alumnos de segundo de bachillerato, 2 alumnos están jugando al mus y 5 están jugando al tute, mientras que el resto de alumnos no está jugando a las cartas. Si se eligen al azar dos alumnos, ¿qué probabilidad hay de que ninguno de los elegidos estén jugando a las cartas?
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