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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas. Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Sabiendo que ∣123603αβγ∣=3\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 0 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{vmatrix} = 3, y utilizando las propiedades de los determinantes, calcular:
a
El determinante de la matriz (246603αβγ)4\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 0 & 3 \\ \alpha & \beta & \gamma \end{pmatrix}^4.1 pt
b
∣1020302013α3β3γ∣\begin{vmatrix} 10 & 20 & 30 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3\alpha & 3\beta & 3\gamma \end{vmatrix}.1 pt
c
∣3α+23β+43γ+62α2β2γα+6βγ+3∣\begin{vmatrix} 3\alpha + 2 & 3\beta + 4 & 3\gamma + 6 \\ 2\alpha & 2\beta & 2\gamma \\ \alpha + 6 & \beta & \gamma + 3 \end{vmatrix}.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la recta:r≡x+1−2=y−21=z+13 r \equiv \frac{x + 1}{-2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{3} y el punto P(2,0,−1)P(2, 0, -1), se pide:
a
Hallar la distancia del punto PP a la recta rr.1 pt
b
Hallar las coordenadas del punto P′P' simétrico de PP respecto de la recta rr.2 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Hallar:
a
lim⁡x→+∞[3+5x−8x331+2x]25\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{\sqrt[3]{3 + 5x - 8x^3}}{1 + 2x} \right]^{25}.1 pt
b
lim⁡x→0(1+4x3)2/x3\lim_{x \to 0} (1 + 4x^3)^{2/x^3}.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la función f(x)=ln⁡(x2+4x−5)f(x) = \ln(x^2 + 4x - 5), donde ln⁡\ln significa logaritmo neperiano, se pide:
a
Determinar el dominio de definición de f(x)f(x) y las asíntotas verticales de su gráfica.1 pt
b
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dadas las funciones:y=9−x2,y=2x+1, y = 9 - x^2, \qquad y = 2x + 1, se pide:
a
Dibujar las gráficas de las dos funciones identificando el recinto acotado por ellas.1 pt
b
Calcular el área de dicho recinto acotado.1 pt
c
Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje OXOX el recinto acotado por la gráfica de y=9−x2y = 9 - x^2 y el eje OXOX.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados el plano π≡2x+ay+4z+25=0\pi \equiv 2x + ay + 4z + 25 = 0 y la recta:r≡x+1=y−12=z+35 r \equiv x + 1 = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 3}{5} se pide:
a
Calcular los valores de aa para los que la recta rr está contenida en el plano π\pi.1 pt
b
Para el valor a=−2a = -2, hallar el punto (o los puntos) que pertenecen a la recta perpendicular a π\pi que pasa por P(−3/2,0,−11/2)P(-3/2, 0, -11/2), y que dista (o distan) 66 unidades de π\pi.1 pt
c
Para a=−2a = -2, halla el seno del ángulo que forman rr y π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones:{2x+my+3z=3x+y−2z=05x+(m+1)y+z=9 \begin{cases} 2x + my + 3z = 3 \\ x + y - 2z = 0 \\ 5x + (m + 1)y + z = 9 \end{cases}
a
Discutir el sistema según los valores de mm.1,5 pts
b
Resolver el sistema para el caso m=0m = 0.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la matriz A=(1a101001a)A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} estudiar para qué valores de aa tiene inversa y calcularla siempre que sea posible.
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