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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2015

5 ejercicios

Instrucciones

Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. • El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. • Se podrán utilizar calculadoras no programables. 1. El examen se valorará con una puntuación entre 0 y 10 puntos. 2. Todos los problemas tienen el mismo valor: hasta 2 puntos. 3. Se valorará el planteamiento correcto, tanto global como de cada una de las partes, si las hubiere. 4. No se tomarán en consideración errores numéricos, de cálculo, etc., siempre que no sean de tipo conceptual. 5. Las ideas, gráficos, presentaciones, esquemas, etc., que ayuden a visualizar mejor el problema y su solución se valorarán positivamente. 6. Se valorará la buena presentación del examen.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz A=(x−25−x)A = \begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix} calcular qué valor debe tener xx para que la matriz inversa de AA coincida con la opuesta de AA (esto es, A−1=−AA^{-1} = -A).
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considera los puntos A(2,1,2)A(2,1,2), B(0,4,1)B(0,4,1) y la recta rr de ecuaciónr≡x=y−2=z−32. r \equiv x = y - 2 = \frac{z - 3}{2}.
a
Calcular un punto PP de la recta que equidiste de los puntos AA y BB.1,25 pts
b
Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta rr que pasa por el punto AA.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Para adornar un mural queremos construir un marco de madera rectangular que encierre una superficie de cinco metros cuadrados. Sabemos que el coste de cada centímetro del marco en los lados horizontales es de 1,51{,}5 €, mientras que en los lados verticales es de 2,72{,}7 €. Determinar las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcula la siguiente integral indefinida:∫2x3+x−1x2−5xdx. \int \frac{2x^3 + x - 1}{x^2 - 5x} dx.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Una caja contiene monedas de 1010 céntimos, 2020 céntimos y 5050 céntimos. En total hay 350350 monedas. El número de monedas de 5050 céntimos es el doble que el de monedas de 1010 céntimos. Si en total hay 9090 euros ¿cuántas monedas hay de cada clase?
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Discute en función del parámetro mm el sistema de ecuaciones{mx+my=13x+mz=m−2−y+z=m−3 \begin{cases} mx + my = 1 \\ 3x + mz = m - 2 \\ -y + z = m - 3 \end{cases} ¿Existen casos de indeterminación? Si la respuesta es afirmativa resolver el sistema en esos casos. Si es negativa explicar por qué.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Dada la recta r:{3x+y−z=22x+y+4z=1r : \begin{cases} 3x + y - z = 2 \\ 2x + y + 4z = 1 \end{cases} y el plano 2x+(a+1)(y−3)+a(z−1)=02x + (a + 1)(y - 3) + a(z - 1) = 0 determinar el valor del parámetro aa para que el plano y la recta sean paralelos.1,25 pts
b
¿Pertenece el punto P(1,0,−3)P(1, 0, -3) al plano obtenido en el apartado anterior?0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la funciónf(x)={ax2+3xsi x≤2x2−bx−4si x>2 f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \leq 2 \\ x^2 - bx - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Hallar los valores de aa y bb sabiendo que ff es derivable en toda la recta real.1 pt
b
Calcular la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Representar gráficamente la región del plano limitado por la curva y=2x3y = 2x^3, la recta tangente a la gráfica de dicha función en el origen de coordenadas y la recta x=1x = 1. Calcular el área de dicha región.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Una caja (prisma rectangular) tiene por dimensiones AA, 2A2A y 3A3A. Si disminuimos cada una de sus dimensiones en un 50%50\% ¿el volumen habrá disminuido en un 50%50\%? ¿el área total habrá disminuido en un 50%50\%? Razona las respuestas.
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