Matemáticas II · País Vasco 2015

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}$ calcular qué valor debe tener $x$ para que la matriz inversa de $A$ coincida con la opuesta de $A$ (esto es, $A^{-1} = -A$).

Discute en función del parámetro $m$ el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} mx + my = 1 \\ 3x + mz = m - 2 \\ -y + z = m - 3 \end{cases}$$ ¿Existen casos de indeterminación? Si la respuesta es afirmativa resolver el sistema en esos casos. Si es negativa explicar por qué.

Considera los puntos $A(2,1,2)$, $B(0,4,1)$ y la recta $r$ de ecuación $$r \equiv x = y - 2 = \frac{z - 3}{2}.$$

Para adornar un mural queremos construir un marco de madera rectangular que encierre una superficie de cinco metros cuadrados. Sabemos que el coste de cada centímetro del marco en los lados horizontales es de $1{,}5$ €, mientras que en los lados verticales es de $2{,}7$ €. Determinar las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible.

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \leq 2 \\ x^2 - bx - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Calcula la siguiente integral indefinida: $$\int \frac{2x^3 + x - 1}{x^2 - 5x} dx.$$

Representar gráficamente la región del plano limitado por la curva $y = 2x^3$, la recta tangente a la gráfica de dicha función en el origen de coordenadas y la recta $x = 1$. Calcular el área de dicha región.

Una caja contiene monedas de $10$ céntimos, $20$ céntimos y $50$ céntimos. En total hay $350$ monedas. El número de monedas de $50$ céntimos es el doble que el de monedas de $10$ céntimos. Si en total hay $90$ euros ¿cuántas monedas hay de cada clase?

Una caja (prisma rectangular) tiene por dimensiones $A$, $2A$ y $3A$. Si disminuimos cada una de sus dimensiones en un $50\%$ ¿el volumen habrá disminuido en un $50\%$? ¿el área total habrá disminuido en un $50\%$? Razona las respuestas.