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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2019

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde kk es un parámetro real:{2x−y+kz=1−x+y−kz=02x−ky+2kz=−1\begin{cases} 2x - y + kz = 1 \\ -x + y - kz = 0 \\ 2x - ky + 2kz = -1 \end{cases}
a
Determine los valores del parámetro real kk, para los que este sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.1,5 pts
b
Resuelva el sistema cuando k=1k = 1.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
a
Determine el volumen del paralelepípedo determinado por los siguientes vectores: u⃗=(1,1,1)\vec{u} = (1,1,1), v⃗=(2,1,0)\vec{v} = (2,1,0) y w⃗\vec{w}, siendo w⃗=u⃗×v⃗\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}, y donde el símbolo ×\times representa el producto vectorial.0,75 pts
b
Determine la ecuación del plano que pasa por el punto P:(1,3,2)P: (1, 3, 2) y es perpendicular a la recta:r ⁣:{3x−2y=−12y+3z=3r \colon \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 2y + 3z = 3 \end{cases}0,75 pts
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Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Determine el límite:lim⁡x→0(2ln⁡((1+x)2)−1x)\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{2}{\ln((1 + x)^2)} - \frac{1}{x}\right)1 pt
b
Determine el valor de la constante kk para que la función:f(x)={x4−1x−1,si x≠1k−x,si x=1f(x) = \begin{cases} \frac{x^4 - 1}{x - 1}, & \text{si } x \neq 1 \\ k - x, & \text{si } x = 1 \end{cases}sea continua en x=1x = 1.1 pt
c
La curva y=x2+1y = x^2 + 1 divide al rectángulo limitado por los vértices A:(0,1)A: (0, 1), B:(2,1)B: (2, 1), C:(0,5)C: (0, 5) y D:(2,5)D: (2, 5) en dos partes. Determine el área de cada una de esas dos partes.2 pts
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Una encuesta realizada sobre el mes preferido, entre julio, agosto o septiembre, para salir de vacaciones arrojó los siguientes datos: un 40% prefiere julio, un 30% agosto y el resto prefiere el mes de septiembre. Entre los que prefieren el mes de julio, un 60% pasa sus vacaciones en un hotel; entre los que prefieren el mes de agosto un 40% elige hotel para sus vacaciones y entre los encuestados que prefieren septiembre, un 65% eligen hotel.
a
Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que vaya a un hotel y le guste ir en agosto.0,5 pts
b
Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que pase sus vacaciones en un hotel.0,5 pts
c
Se elige al azar un individuo y dice que no pasa sus vacaciones en un hotel, calcule la probabilidad de que prefiera irse en agosto de vacaciones.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Estudie el rango de la matriz que aparece a continuación según los diferentes valores del parámetro real mm.A=(1103m10−2m)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & m & 1 \\ 0 & -2 & m \end{pmatrix}1,5 pts
b
Determine la inversa de la matriz AA anterior cuando m=−1m = -1.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Determine la ecuación del plano que contiene a la recta:r ⁣:{3x+y=−14y+3z=+5r \colon \begin{cases} 3x + y = -1 \\ 4y + 3z = +5 \end{cases}y pasa por el punto P:(1,3,−1)P: (1, 3, -1).
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Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Considere la función:f(x)=2x3+kx2+x+3x2+2f(x) = \frac{2x^3 + kx^2 + x + 3}{x^2 + 2}Determine el valor de kk para que la función f(x)f(x) tenga como asíntota oblicua, cuando x→+∞x \rightarrow +\infty, la recta y=2x−1y = 2x - 1.1 pt
b
Determine∫x(ln⁡(x))2dx\int x (\ln(x))^2 dx1,5 pts
c
Determine, si existen, los máximos, mínimos relativos y puntos de inflexión de la función:f(x)=1x+ln⁡(x)f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x)1,5 pts
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale 2 o múltiplo de 2.
a
Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane exactamente 10 veces. (En este apartado, NO es necesario finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen).0,75 pts
b
Si juega 200 veces, calcule la probabilidad de que gane entre 90 y 110 veces, ambos valores incluidos.0,75 pts
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