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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2022

8 ejercicios

Instrucciones

Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que sea compatible:{x+(a2−2a)y−z=−a2x+(a2−4)y+(2a−3)z=−a2−2ax+(a2−4a+4)y+(a2−2a)z=−a2+a−1\begin{cases} x + (a^2 - 2a)y - z = -a^2 \\ x + (a^2 - 4)y + (2a - 3)z = -a^2 - 2a \\ x + (a^2 - 4a + 4)y + (a^2 - 2a)z = -a^2 + a - 1 \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula los valores de tt para los que la matriz A26+A25A^{26} + A^{25} es matriz singular, siendoA=(0−11t−1)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t - 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto T≡(1,−5,3)T \equiv (1, -5, 3) y corta a las siguientes rectas:r≡{−x−y−z+3=03x+z−10=0ys≡x−2=y+1−1=z−21r \equiv \begin{cases} -x - y - z + 3 = 0 \\ 3x + z - 10 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x}{-2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P≡(1,2,−1)P \equiv (1, 2, -1), es paralela al plano π≡2x−y+z=0\pi \equiv 2x - y + z = 0 y corta a la recta:r≡{x−y+2z+2=03x−y−z−3=0r \equiv \begin{cases} x - y + 2z + 2 = 0 \\ 3x - y - z - 3 = 0 \end{cases}
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a
∫dx2xx−1\int \frac{dx}{2x \sqrt{x - 1}}1,25 pts
b
∫(3−2x)e−2xdx\int (3 - 2x) e^{-2x} dx1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=e1sen⁡x+cos⁡xf(x) = e^{\frac{1}{\sen x + \cos x}}.
a
Estudia la continuidad de la función en el intervalo [0,π][0, \pi].0,75 pts
b
Halla su extremo relativo en ese mismo intervalo.1,75 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=ex2−2xf(x) = \frac{e^{x^2 - 2}}{x}.
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [−2,−1][-2, -1].0,75 pts
b
Comprueba que existe un valor α∈(−2,−1)\alpha \in (-2, -1) tal que f′(α)=0f'(\alpha) = 0. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,75 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:f(x)=2−∣x∣yg(x)=x2−10f(x) = 2 - |x| \quad \text{y} \quad g(x) = x^2 - 10Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
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