Matemáticas II · Navarra 2022

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} x + (a^2 - 2a)y - z = -a^2 \\ x + (a^2 - 4)y + (2a - 3)z = -a^2 - 2a \\ x + (a^2 - 4a + 4)y + (a^2 - 2a)z = -a^2 + a - 1 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula los valores de $t$ para los que la matriz $A^{26} + A^{25}$ es matriz singular, siendo $$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t - 1 \end{pmatrix}$$

Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $T \equiv (1, -5, 3)$ y corta a las siguientes rectas: $$r \equiv \begin{cases} -x - y - z + 3 = 0 \\ 3x + z - 10 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x}{-2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$$

Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (1, 2, -1)$, es paralela al plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$ y corta a la recta: $$r \equiv \begin{cases} x - y + 2z + 2 = 0 \\ 3x - y - z - 3 = 0 \end{cases}$$

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

Se considera la función $f(x) = e^{\frac{1}{\sen x + \cos x}}$.

Se considera la función $f(x) = \frac{e^{x^2 - 2}}{x}$.

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones: $$f(x) = 2 - |x| \quad \text{y} \quad g(x) = x^2 - 10$$ Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.