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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024OrdinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 4 bloques de 2 ejercicios cada uno. d) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. e) Se realizará únicamente un ejercicio de cada bloque. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Sea ff la función definida por f(x)=ax3+bx2+x−1x2−1f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + x - 1}{x^2 - 1}, para x≠±1x \neq \pm 1. Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto (0,1)(0, 1) y es paralela a la recta y=2xy = 2x, calcula la asíntota oblicua y los valores de aa y bb.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=arctg⁡(x+π)f(x) = \operatorname{arctg}(x + \pi), donde arctg⁡\operatorname{arctg} denota la función arcotangente.
a
Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de ff. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,5 pts
b
Calcula lim⁡x→−πarctg⁡(x+π)sen⁡(x)\lim_{x \to -\pi} \frac{\operatorname{arctg}(x + \pi)}{\operatorname{sen}(x)}1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque B

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Halla la función f:(2,+∞)→Rf: (2, +\infty) \to \mathbb{R} que pasa por el punto (3,−4ln⁡5)(3, -4 \ln 5) y verifica f′(x)=3x2+4x+12x2−4f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4}, donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque B

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=(x2−3x+5)exf(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x. Halla una primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (0,5)(0, 5).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque C

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera las matrices A=(101m101−12)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} y B=(−48004441220)B = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix}.
a
Determina los valores de mm para los que la matriz A2A^2 tiene inversa.0,75 pts
b
Para m=0m = 0 calcula, si es posible, la matriz XX que verifica A2X=12(A+B)A^2 X = \frac{1}{2}(A + B)1,75 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque C

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque D

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera los puntos P(1,0,1)P(1, 0, 1) y Q(3,−2,1)Q(3, -2, 1).
a
Calcula el plano perpendicular al segmento PQPQ que pasa por su punto medio.1 pt
b
Calcula el plano paralelo a la recta r≡1−x=y−23=z+1r \equiv 1 - x = \frac{y - 2}{3} = z + 1 que pasa por PP y QQ.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque D

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera los puntos A(1,1,2)A(1, 1, 2), B(1,0,1)B(1, 0, 1) y C(1,−1,2)C(1, -1, 2).
a
Determina el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.1,25 pts
b
Calcula DD para que los puntos AA, BB, CC y DD sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.1,25 pts
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