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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2022

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Sea a∈Ra \in \mathbb{R} y P=(−1−12012−1−1a)P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}
a)1 pts
Calcula el determinante y el rango de PP para cada valor de aa.
b)1 pts
Para a=1a = 1 ¿existe P−1P^{-1}? En caso afirmativo calcúlala.
c)0,5 pts
Calcula, en caso de que exista, los valores de aa tal que det⁡(P)=det⁡(P−1)\det(P) = \det(P^{-1}).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Dado a∈Ra \in \mathbb{R}, se considera el sistema de ecuaciones siguiente: −x+2y=−1−x+2y+2z=1ax−2y+z=2}\left. \begin{array}{r r r r r r r} -x & + & 2y & & & = & -1 \\ -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 \\ ax & - & 2y & + & z & = & 2 \end{array} \right\}
a)1 pts
Discute el sistema según los valores de aa.
b)0,75 pts
Estudia si es posible encontrar un valor de aa para el cual la solución del sistema verifique que x=0x = 0.
c)0,75 pts
Si a=0a = 0, resuelve el sistema si es posible.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Se considera la función: f(x)=x2+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}
a)1 pts
Calcula el dominio de ff y las asíntotas, en caso de que tenga.
b)1 pts
Estudia la existencia de máximos y mínimos, así como los intervalos de concavidad y convexidad.
c)0,5 pts
A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de ff.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
Se considera la función f(x)=x1−x2f(x) = x \sqrt{1 - x^2}.
a)1,75 pts
Calcula una primitiva de f(x)f(x), que pase por el punto (−1,0)(-1, 0). (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable t=1−x2t = 1 - x^2)
b)0,75 pts
Calcula ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Sea rr la recta que pasa por los puntos A=(1,0,1)A = (1, 0, 1) y B=(2,1,2)B = (2, 1, 2) y ss la recta s≡x−21=y−2−1=z1s \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z}{1}.
a)0,75 pts
Indica la posición relativa de rr y ss.
b)0,75 pts
Calcula un plano paralelo a rr y que contiene a ss.
c)1 pts
Calcula la distancia entre las rectas rr y ss.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Dados dos planos π≡x+y+z=3\pi \equiv x + y + z = 3, π′≡x+y=3\pi' \equiv x + y = 3 y el punto A=(2,1,6)A = (2, 1, 6)
a)0,75 pts
Calcula un vector director y un punto de la recta rr intersección de los planos π\pi y π′\pi'.
b)1 pts
Calcula el punto PP de π\pi tal que el segmento APAP es perpendicular al plano π\pi.
c)0,75 pts
Calcula el punto A′A' simétrico de AA respecto del plano π\pi.
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
Se tienen tres sobres, A, B y C. En el sobre A hay dos cartas de copas y tres de bastos. En el sobre B tres cartas de copas y dos de bastos y en el sobre C cuatro de copas y una de bastos. Se tira un dado y se saca una carta del sobre A si el resultado es impar, del sobre B si el resultado es 4 o 6 y del sobre C si el resultado es un 2.
a)1,25 pts
Calcula la probabilidad de que se obtenga una carta de bastos.
b)1,25 pts
Se extrae una carta y resulta ser copas ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído del sobre B?
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
El peso en kilos de la población de un cierto país sigue una distribución normal de media 70 y desviación típica 10. Se selecciona un individuo al azar.
a)1,25 pts
Calcule la probabilidad de que su peso se sitúe entre 65 y 75 kilos.
b)1,25 pts
Se realiza una campaña de comida sana y esto repercute en el peso de la población, manteniendo la desviación típica pero ahora la probabilidad de que un individuo pese menos de 75 es 0,60{,}6 ¿Cuál es la nueva media?
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