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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Despues de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. TIEMPO Y CALIFICACION: 90 minutos. Cada ejercicio se calificará sobre 2,5 puntos. El estudiante deberá indicar la agrupación de preguntas que responderá. La selección de preguntas deberá realizarse conforme a las instrucciones planteadas, no siendo válido seleccionar preguntas que sumen más de 10 puntos, ni agrupaciones de preguntas que no coincidan con las indicadas, lo que puede conllevar la anulación de alguna pregunta que se salga de las instrucciones.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Sea a∈Ra \in \mathbb{R} y P=(−1−12012−1−1a)P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}
a
Calcula el determinante y el rango de PP para cada valor de aa.1 pt
b
Para a=1a = 1 ¿existe P−1P^{-1}? En caso afirmativo calcúlala.1 pt
c
Calcula, en caso de que exista, los valores de aa tal que det⁡(P)=det⁡(P−1)\det(P) = \det(P^{-1}).0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Dado a∈Ra \in \mathbb{R}, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:−x+2y=−1−x+2y+2z=1ax−2y+z=2}\left. \begin{array}{r r r r r r r} -x & + & 2y & & & = & -1 \\ -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 \\ ax & - & 2y & + & z & = & 2 \end{array} \right\}
a
Discute el sistema según los valores de aa.1 pt
b
Estudia si es posible encontrar un valor de aa para el cual la solución del sistema verifique que x=0x = 0.0,75 pts
c
Si a=0a = 0, resuelve el sistema si es posible.0,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Se considera la función:f(x)=x2+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}
a
Calcula el dominio de ff y las asíntotas, en caso de que tenga.1 pt
b
Estudia la existencia de máximos y mínimos, así como los intervalos de concavidad y convexidad.1 pt
c
A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
Se considera la función f(x)=x1−x2f(x) = x \sqrt{1 - x^2}.
a
Calcula una primitiva de f(x)f(x), que pase por el punto (−1,0)(-1, 0). (Sugerencia: Puedes utilizar el cambio de variable t=1−x2t = 1 - x^2)1,75 pts
b
Calcula ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Sea rr la recta que pasa por los puntos A=(1,0,1)A = (1, 0, 1) y B=(2,1,2)B = (2, 1, 2) y ss la recta s≡x−21=y−2−1=z1s \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z}{1}.
a
Indica la posición relativa de rr y ss.0,75 pts
b
Calcula un plano paralelo a rr y que contiene a ss.0,75 pts
c
Calcula la distancia entre las rectas rr y ss.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Dados dos planos π≡x+y+z=3\pi \equiv x + y + z = 3, π′≡x+y=3\pi' \equiv x + y = 3 y el punto A=(2,1,6)A = (2, 1, 6)
a
Calcula un vector director y un punto de la recta rr intersección de los planos π\pi y π′\pi'.0,75 pts
b
Calcula el punto PP de π\pi tal que el segmento APAP es perpendicular al plano π\pi.1 pt
c
Calcula el punto A′A' simétrico de AA respecto del plano π\pi.0,75 pts
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
Se tienen tres sobres, A, B y C. En el sobre A hay dos cartas de copas y tres de bastos. En el sobre B tres cartas de copas y dos de bastos y en el sobre C cuatro de copas y una de bastos. Se tira un dado y se saca una carta del sobre A si el resultado es impar, del sobre B si el resultado es 4 o 6 y del sobre C si el resultado es un 2.
a
Calcula la probabilidad de que se obtenga una carta de bastos.1,25 pts
b
Se extrae una carta y resulta ser copas ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído del sobre B?1,25 pts
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
El peso en kilos de la población de un cierto país sigue una distribución normal de media 70 y desviación típica 10. Se selecciona un individuo al azar.
Datos
  • F(x)=P(Z≤x)F(x) = P(Z \leq x)
  • F(0)=0,5F(0) = 0{,}5
  • F(0,15)=0,6F(0{,}15) = 0{,}6
  • F(0,5)=0,6915F(0{,}5) = 0{,}6915
  • F(0,6)=0,7257F(0{,}6) = 0{,}7257
  • F(1,8)=0,9641F(1{,}8) = 0{,}9641
a
Calcule la probabilidad de que su peso se sitúe entre 65 y 75 kilos.1,25 pts
b
Se realiza una campaña de comida sana y esto repercute en el peso de la población, manteniendo la desviación típica pero ahora la probabilidad de que un individuo pese menos de 75 es 0,60{,}6 ¿Cuál es la nueva media?1,25 pts
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