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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2025

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen consta de CUATRO ejercicios obligatorios. Cada ejercicio vale 2,5 puntos. Haga los ejercicios 1, 2 y 3 respondiendo a TODAS las cuestiones que se plantean. En el ejercicio 4, elija UNA de las dos opciones (A o B) propuestas. En todas las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Es necesario que la redacción de la respuesta se haga de manera coherente, con corrección y claridad, empleando la notación y el vocabulario matemático adecuados y expresando la solución de manera clara. Puede utilizar las páginas en blanco del final del cuaderno para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a algún ejercicio si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página del ejercicio correspondiente. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos capaces de almacenar datos o de transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x2−2xx−1f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 1}.
a
Determine los cortes de la curva y=f(x)y = f(x) con los ejes de coordenadas, y las ecuaciones de sus posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.1 pt
b
Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y=f(x)y = f(x) en los puntos x=0x = 0 y x=2x = 2. ¿Estas dos rectas son paralelas? Justifique la respuesta.1 pt
c
¿Hay algún punto donde la recta tangente a f(x)f(x) tenga pendiente 1? En caso afirmativo, encuéntrelo.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:{y−z=p+3p2x−z=5x−y=3\begin{cases} y - z = p + 3 \\ p^2 x - z = 5 \\ x - y = 3 \end{cases}
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro pp.1,25 pts
b
Resuelva el sistema para el caso p=−1p = -1.0,5 pts
c
Para el caso p=−1p = -1, ¿hay alguna solución que cumpla, además, xy=10xy = 10? En caso afirmativo, indique cuántas hay y encuéntrelas todas.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Una empresa produce dos tipos de piezas, de hierro y de acero. El 60 %60\,\% de la producción total corresponde a piezas de hierro y el resto son de acero. Sabemos que el 95 %95\,\% de las piezas de hierro producidas no tienen ningún defecto, mientras que el 3 %3\,\% de las piezas de acero son defectuosas.
a
Si tomamos una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?0,75 pts
b
La empresa pronto diversificará la producción y empezará a producir también piezas de titanio, que se venderán en paquetes de 5. Si la probabilidad de que una pieza de titanio sea defectuosa es un valor desconocido pp, y cada pieza es defectuosa independientemente de las otras, compruebe que la expresión que nos da la probabilidad de que en un paquete de 5 piezas haya exactamente 4 defectuosas (en función de pp) es f(p)=5(p4−p5)f(p) = 5(p^4 - p^5).0,75 pts
c
Considere la función f(p)f(p) del apartado anterior. Determine el valor máximo que toma f(p)f(p) cuando p≥0p \geq 0.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos

Elija UNA de las dos opciones (A o B).

La vela mayor de un velero tiene forma semiparabólica y está delimitada por las gráficas de f(x)=−x2+25f(x) = -x^2 + 25, y=0y = 0 y x=0x = 0, tal como se indica en la figura siguiente: La vela tiene dos partes separadas por la recta y=9y = 9. Para construirla, se emplea un tejido de nailon en la parte superior, que cuesta 50 €/u250\,€/\text{u}^2, y un tejido de poliéster en la parte inferior, que cuesta 70 €/u270\,€/\text{u}^2. Calcule el coste total del material que se necesita para construir esta vela.
Gráfica de la vela semiparabólica delimitada por f(x) = -x² + 25, con una división horizontal en y = 9 que separa la región superior de la inferior.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos

Elija UNA de las dos opciones (A o B).

Considere el plano π\pi de ecuación x+y=0x + y = 0.
a
Calcule la ecuación del plano π′\pi' que es perpendicular a π\pi y contiene los puntos P=(1,−1,2)P = (1, -1, 2) y Q=(3,−3,6)Q = (3, -3, 6).1 pt
b
Calcule la ecuación paramétrica de la recta contenida en π′\pi' y que contiene los puntos de π′\pi' a la misma distancia de PP que de QQ.1,5 pts
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