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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2021OrdinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2021

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque a
Sea la función continua f ⁣:R→Rf \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)={ln⁡(ex+x3)xsi x<04x2+asi 0≤x<1b+sen⁡(πx)si 1≤x f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(e^x + x^3)}{x} & \text{si } x < 0 \\ 4x^2 + a & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ b + \sen(\pi x) & \text{si } 1 \leq x \end{cases} (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano). Determina aa y bb.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque a
Sea f ⁣:R→Rf \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=e2x−1e2x+1f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}.
a)1,25 pts
Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.
b)1,25 pts
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque a
Calcula ∫0π/2(2sen⁡2(x)−cos⁡2(x)) dx\int_{0}^{\pi/2} (2\sen^2(x) - \cos^2(x)) \, dx.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque a
Considera las funciones f,g ⁣:R→Rf, g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=∣x∣−2f(x) = |x| - 2 y por g(x)=4−x2g(x) = 4 - x^2.
a)1 pts
Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.
b)1,5 pts
Determina el área del recinto anterior.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque b
Considera la matriz A=(202−121014)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}
a)1,75 pts
Estudia, según los valores de λ\lambda, el rango de la matriz A−λIA - \lambda I, siendo II la matriz identidad de orden tres.
b)0,75 pts
Resuelve el sistema (A−I)(xyz)=(000)(A - I) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} y halla, si existe, una solución en la que x=2x = 2.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque b
Considera las matrices A=(1−101m1)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix} y B=(1102m−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix}
a)1 pts
Calcula mm para que ABAB no tenga inversa.
b)1,5 pts
Estudia el rango de la matriz BABA según los valores de mm.
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque b
Considera las rectas r≡{x=2+3λy=−1+2λz=3+λys≡{2x−y−2=0y+2z−4=0 r \equiv \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ y + 2z - 4 = 0 \end{cases}
a)1,5 pts
Halla el plano que contiene a rr y es paralelo a ss.
b)1 pts
Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a ss contiene a rr.
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque b
Considera los puntos A(1,2,3)A(1, 2, 3), B(−2,4,−3)B(-2, 4, -3) y C(−10,1,0)C(-10, 1, 0).
a)1,25 pts
Halla el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.
b)1,25 pts
Halla el plano que equidista de AA y BB.
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