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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2021OrdinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Sea la función continua f ⁣:R→Rf \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida porf(x)={ln⁡(ex+x3)xsi x<04x2+asi 0≤x<1b+sen⁡(πx)si 1≤x f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(e^x + x^3)}{x} & \text{si } x < 0 \\ 4x^2 + a & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ b + \sen(\pi x) & \text{si } 1 \leq x \end{cases} (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano). Determina aa y bb.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Sea f ⁣:R→Rf \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=e2x−1e2x+1f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}.
a
Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.1,25 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Calcula ∫0π/2(2sen⁡2(x)−cos⁡2(x)) dx\int_{0}^{\pi/2} (2\sen^2(x) - \cos^2(x)) \, dx.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera las funciones f,g ⁣:R→Rf, g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=∣x∣−2f(x) = |x| - 2 y por g(x)=4−x2g(x) = 4 - x^2.
a
Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan.1 pt
b
Determina el área del recinto anterior.1,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera la matriz A=(202−121014)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}
a
Estudia, según los valores de λ\lambda, el rango de la matriz A−λIA - \lambda I, siendo II la matriz identidad de orden tres.1,75 pts
b
Resuelve el sistema (A−I)(xyz)=(000)(A - I) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} y halla, si existe, una solución en la que x=2x = 2.0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera las matrices A=(1−101m1)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix} y B=(1102m−1)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix}
a
Calcula mm para que ABAB no tenga inversa.1 pt
b
Estudia el rango de la matriz BABA según los valores de mm.1,5 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera las rectasr≡{x=2+3λy=−1+2λz=3+λys≡{2x−y−2=0y+2z−4=0 r \equiv \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ y + 2z - 4 = 0 \end{cases}
a
Halla el plano que contiene a rr y es paralelo a ss.1,5 pts
b
Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a ss contiene a rr.1 pt
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera los puntos A(1,2,3)A(1, 2, 3), B(−2,4,−3)B(-2, 4, -3) y C(−10,1,0)C(-10, 1, 0).
a
Halla el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.1,25 pts
b
Halla el plano que equidista de AA y BB.1,25 pts
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