Matemáticas II · Baleares 2012

Demuestre que los puntos $P_1(2, 1, 1)$, $P_2(5, 2, 1)$, $P_3(9, 1, 0)$, $P_4(11, 4, 1)$ son coplanarios y calcule la ecuación del plano que los contiene.

Demuestre que las rectas siguientes se cortan y calcule el punto de corte:

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $b$: $$\begin{cases} 3x + 6y + 9z = 1 \\ 3x + by + bz = 1 \\ bx + y - z = 1 \end{cases}$$ Resuelva el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.

Sea $a$ un valor estrictamente positivo. Consideramos la función polinómica dependiente de $a$: $f(x) = x^3 + a \cdot x + 1$.

Determine los máximos y mínimos de la función: $f(x) = \frac{1+x}{1+x+x^2}$.

Haga un dibujo del recinto limitado por la curva $f(x) = \frac{x^2}{x+2}$ entre los valores $x = -1$, $x = 1$ y el eje $OX$. Calcule el área de este recinto.

Calcule la siguiente integral indefinida: $\int \frac{1}{2x^2 + 4} \, dx$.