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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Calcule todas las matrices 2×22 \times 2 de la forma A=(a1c−2−a)A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ c & -2-a \end{pmatrix} que satisfacen A2+2A+3I=0A^2 + 2A + 3I = 0, donde II es la matriz identidad. O sea, calcule la expresión de cc en función de aa.5 pts
b
Demuestre que las matrices del apartado anterior son invertibles y calcule su inversa.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Demuestre que las rectas siguientes se cortan y calcule el punto de corte:
Datos
  • r1:{x+2y+3z=−1y−z=2r_1: \begin{cases} x + 2y + 3z = -1 \\ y - z = 2 \end{cases}
  • r2:{x+y+z=−12x+z=−4r_2: \begin{cases} x + y + z = -1 \\ 2x + z = -4 \end{cases}
a
Demuestre que las rectas se cortan.5 pts
b
Calcule el punto de corte.5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sea aa un valor estrictamente positivo. Consideramos la función polinómica dependiente de aa: f(x)=x3+a⋅x+1f(x) = x^3 + a \cdot x + 1.
a
Demuestre que la ecuación f(x)=0f(x) = 0 solo puede tener como máximo una solución.5 pts
b
Demuestre que la solución del apartado anterior existe y está entre −1-1 y 00.5 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Haga un dibujo del recinto limitado por la curva f(x)=x2x+2f(x) = \frac{x^2}{x+2} entre los valores x=−1x = -1, x=1x = 1 y el eje OXOX. Calcule el área de este recinto.
a
Haga un dibujo del recinto.3 pts
b
Calcule el área de este recinto.7 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Demuestre que los puntos P1(2,1,1)P_1(2, 1, 1), P2(5,2,1)P_2(5, 2, 1), P3(9,1,0)P_3(9, 1, 0), P4(11,4,1)P_4(11, 4, 1) son coplanarios y calcule la ecuación del plano que los contiene.
a
Demuestre que los puntos son coplanarios.5 pts
b
Calcule la ecuación del plano que los contiene.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro bb:{3x+6y+9z=13x+by+bz=1bx+y−z=1\begin{cases} 3x + 6y + 9z = 1 \\ 3x + by + bz = 1 \\ bx + y - z = 1 \end{cases}Resuelva el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.
a
Discuta el sistema según los valores del parámetro bb.7 pts
b
Resuelva el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Determine los máximos y mínimos de la función: f(x)=1+x1+x+x2f(x) = \frac{1+x}{1+x+x^2}.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida: ∫12x2+4 dx\int \frac{1}{2x^2 + 4} \, dx.
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