Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2020Variante 6

Matemáticas II · Andalucía 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función ff definida por f(x)=x2−2x−3x2−1f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} para x≠1,−1x \neq 1, -1.
a
Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.1,25 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula a>0a > 0 sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función f(x)=xe3xf(x) = xe^{3x}, el eje de abscisas y la recta x=ax = a vale 19\frac{1}{9}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera la matriz A=(1−1m+201m+1m05)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m + 2 \\ 0 & 1 & m + 1 \\ m & 0 & 5 \end{pmatrix}.
a
Estudia el rango de AA según los valores de mm.1,5 pts
b
Para m=2m = 2, calcula la inversa de 2020A2020A.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Siendo a≠0a \neq 0, considera las rectasr≡x−1=y−2=z−1ays≡x−3−a=y−3−1=z+12r \equiv x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{a} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 3}{-a} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 1}{2}
a
Estudia la posición relativa de ambas rectas según los valores de aa.1,25 pts
b
Para a=2a = 2, determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de rr y ss y es perpendicular a ambas.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea f ⁣:[0,2π]→Rf \colon [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=sen⁡x2−cos⁡xf(x) = \frac{\sen x}{2 - \cos x}.
a
Halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).2 pts
b
Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=π3x = \frac{\pi}{3}.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Sea ff la función dada por f(x)=3x2+4(x−2)2f(x) = \frac{3x^2 + 4}{(x - 2)^2} para x≠2x \neq 2.
a
Calcula ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.2 pts
b
Calcula la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (3,5)(3, 5).0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera A=(111101414)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}, B=(a2a3a)B = \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ 3a \end{pmatrix} y X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.
a
Discute el sistema dado por AX=BAX = B, según los valores de aa.1,25 pts
b
Para a=0a = 0, resuelve el sistema dado por AX=BAX = B. Calcula, si es posible, una solución en la que y+z=4y + z = 4.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Se considera el punto A(1,−2,0)A(1, -2, 0) y la recta r≡{x+y=0y−3z+2=0r \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ y - 3z + 2 = 0 \end{cases}.
a
Calcula la ecuación del plano que pasa por AA y es perpendicular a rr.1,25 pts
b
Calcula la ecuación del plano que pasa por AA y contiene a rr.1,25 pts
Ver este ejercicio