Matemáticas CCSS · Castilla y León 2013

Se considera el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + y - z = 25 \\ 2x - y + 10z = 50 \\ 3x + ay - 4z = 10 \end{cases}$$

Un trabajador autónomo se dedica a pintar edificios 300 días al año durante 8 horas cada día. Para organizarse mejor, adquiere al comienzo del año los dos tipos de pintura blanca que emplea: A y B. Cada tipo de pintura requiere un trabajo diferente: la pintura A necesita 6 horas de trabajo por kilo, mientras que la pintura B necesita 3 horas de trabajo por kilo. Además, el tamaño del envase es diferente, por lo que en su almacén caben cómo máximo 350 kilos de pintura tipo A y 500 kilos de pintura tipo B. Sabiendo que por cada kilo de pintura de tipo A obtiene un beneficio de $70\,\text{€}$ y que por cada kilo de pintura de tipo B obtiene un beneficio de $80\,\text{€}$, utiliza técnicas de programación lineal para determinar cuánta pintura de cada tipo debe comprar al comienzo del año para maximizar su beneficio.

Una persona amante de las matemáticas desea donar sus 3600 libros a dos bibliotecas A y B. En las instrucciones de donación, deja fijado que los lotes de libros se hagan de modo que el producto del número de libros destinados a la biblioteca A por el cubo del número de libros destinados a la biblioteca B sea máximo. Determina la cantidad de libros recibida por cada biblioteca.

Sea la función $f(x) = \begin{cases} ax + 3 + \frac{x}{x - 2} & \text{si } x \neq 2 \\ 0 & \text{si } x = 2 \end{cases}$

Los pesos de los sacos de leña que se venden en una gasolinera siguen una distribución normal con desviación típica $1\,\text{kg}$. Se quiere comprobar con una confianza del 95% que el peso de $10\,\text{kg}$ que marca la etiqueta de cada saco es correcto. Para ello se toman al azar 100 sacos de leña, resultando un peso medio de $9{,}75\,\text{kg}$.

El 70% de las compras de un supermercado las realizan mujeres. El 80% de las compras realizadas por éstas supera los $20\,\text{€}$, mientras que sólo el 30% de las realizadas por hombres supera esa cantidad.

En una clase de inglés hay 7 mujeres y 12 hombres. Si se seleccionan 3 personas al azar, halla la probabilidad de que se seleccionen 2 mujeres y un hombre.

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal $N(10, 50)$. Calcula la probabilidad $P(X \geq 80)$.