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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2017

5 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Los 4 primeros ejercicios se puntuarán sobre un máximo de 2,25 puntos, y el quinto ejercicio sobre un máximo de 1 punto. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,25 puntos
a
Sea M=(123a)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{pmatrix}. Estudiar, en función del parámetro aa, cuando MM posee inversa.0,5 pts
b
Siendo A=(1237)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}, calcular A2A^2 y A−1A^{-1}.1,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,25 puntos
a
Consideremos los puntos P(−1,−4,0)P(-1, -4, 0), Q(0,1,3)Q(0, 1, 3), R(1,0,3)R(1, 0, 3). Hallar el plano π\pi que contiene a los puntos PP, QQ y RR.1,25 pts
b
Calcular aa para que el punto S(3,a,2)S(3, a, 2), pertenezca al plano π≡x+y−2z+5=0\pi \equiv x + y - 2z + 5 = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,25 puntos
a
Dada la función f(x)={x2+ax,x<0sen⁡x,x≥0f(x) = \begin{cases} x^2 + ax, & x < 0 \\ \sen x, & x \geq 0 \end{cases}, calcular aa para que ff sea derivable en x=0x = 0.1 pt
b
Hallar aa, bb y cc para que la función f(x)=ax2+bsen⁡x+cf(x) = ax^2 + b \sen x + c verifique f(0)=0f(0) = 0, f′(0)=1f'(0) = 1 y f′′(0)=2f''(0) = 2.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,25 puntos
a
Calcular lim⁡x→0ex−e(x2)x\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{(x^2)}}{x}.1 pt
b
Hallar el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones f(x)=−x2f(x) = -x^2, g(x)=x2−2g(x) = x^2 - 2.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
1 punto
De una bolsa con 2 bolas blancas, 2 negras y 2 amarillas se extraen dos sin devolución (es decir, una vez extraída una bola no se vuelve a poner en la bolsa). Calcular la probabilidad de que las dos sean blancas.
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Ejercicio 1

1
2,25 puntos
a
Discutir según los valores del parámetro mm el sistema de ecuaciones lineales:{mx+y+z=1x+y+2z=1\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}1,25 pts
b
Resolverlo para m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,25 puntos
a
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,3,4)P(2, 3, 4) y es perpendicular al plano π≡x+y+2z+4=0\pi \equiv x + y + 2z + 4 = 0.1,25 pts
b
Calcular aa para que las rectas r≡x−1=y−2=z−22r \equiv x - 1 = y - 2 = \frac{z - 2}{2} y s≡x−1a=y−22=z−23s \equiv \frac{x - 1}{a} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 2}{3} sean perpendiculares.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,25 puntos
Consideremos la función f(x)=x2+1x2+2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2}. Calcular el dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos. Esbozar su gráfica.
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Ejercicio 4

4
2,25 puntos
a
Calcular: lim⁡x→0xex−sen⁡xx2\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \sen x}{x^2}.1,25 pts
b
Calcular ∫f(x)dx\int f(x) dx para f(x)=xx2−4f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}.1 pt
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Ejercicio 5

5
1 punto
Se tiran al aire, simultáneamente, un dado (con forma cúbica) y una moneda. Teniendo en cuenta que los sucesos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que en el dado salga un 5 y de que en la moneda salga cara?
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